Enunciado

As barras rígidas BF e DH são soldadas a uma viga laminada de aço AE conforme mostrado. Determine, para o carregamento mostrado, (a) a deflexão no ponto B, (b) a deflexão no ponto central da viga em C. Utilize E = 200 GPa.

Passo 1

Opaa! Fala pessoal, beleza? Bora pra mais um?! Para resolver esse exercício, vamos utilizar a equação que governa a linha elástica, dada por:

E I . d 2 y d x 2 = M

Então, nós precisamos da equação para o momento da viga, vamos determinar essa equação com o auxílio das funções de singularidade vistas nesse capítulo, depois disso conseguimos integrar a expressão acima para obter a equação para a inclinação. Integrando novamente conseguimos obter a equação para a deflexão, aí só precisamos calcular o valor do momento de inércia para substituir os valores conhecidos nas equações que encontramos. Então bora lá!

Passo 2

Tá legal! Vamos começar desenhando o triângulo de forças para a junta G, onde teremos:

Então, devido a simetria, temos que F F G = F G H = F . Então, aplicando o somatório de forças na direção y para o triângulo acima, teremos:

+ ↑ ∑ F y = 0

- 100 + 2 F y = 0 → F y = 50   k N

Então, devido a proporção do triângulo, temos que na direção x:

F x = 0,3 0,15 50 → F x = 100   k N

Então, o DCL do nosso sistema, já transferindo as forças verticais para a barra e as horizontais em forma dos momentos que serão gerados, será:

Beleza! Vamos aplicar o somatório de momento em relação ao ponto E para descobrir o valor da reação no ponto A, então teremos:

+ ↻ ∑ M E = 0

A y 1,6 - 50 1,1 - 40 + 40 - 50 ( 0,5 ) = 0

A y = 50   k N

Passo 3

Agora, vamos aproveitar e pegar o momento de inércia para a viga W100 X 19,3 lá no apêndice C do livro, de onde teremos:

I = 4,7.10 6   m m 4 = 4,7.10 - 6   m 4

Agora podemos escrever a equação de singularidade para o cisalhamento no nosso sistema, onde teremos:

V = 50 - 50 < x - 0,5 > 0 - 50 < x - 1,1 > 0

Agora, nós sabemos também que a derivada da equação momento corresponde ao cisalhamento, ou seja:

d M d x = V

Então, substituindo a expressão encontrada para o cisalhamento nessa equação, temos:

d M d x = 50 - 50 < x - 0,5 > 0 - 50 < x - 1,1 > 0

Integrando essa expressão, teremos:

M = 50 x - 50 < x - 0,5 > 1 - 50 < x - 1,1 > 1 + C

Nesse caso, a constante C representa os momentos localizados aplicados no sistema, no nosso caso temos os dois momentos de 40 kN.m, então teremos:

C = - 40 < x - 0,5 > 0 + 40 < x - 1,1 > 0

Então nossa equação para o momento será:

M = 50 x - 50 < x - 0,5 > 1 - 50 < x - 1,1 > 1 + 40 < x - 0,5 > 0 - 40 < x - 1,1 > 0

Passo 4

Agora nós podemos utilizar a equação que governa o regime elástico descrita lá no passo 1 e substituir a equação obtida para o momento, então teremos:

E I . d 2 y d x 2 = 50 x - 50 < x - 0,5 > 1 - 50 < x - 1,1 > 1 - 40 < x - 0,5 > 0 + 40 < x - 1,1 > 0

Agora vamos integrar essa expressão, chegando em:

E I . d y d x = 25 x 2 - 25 < x - 0,5 > 2 - 25 < x - 1,1 > 2 - 40 < x - 0,5 > 1 + 40 < x - 1,1 > 1 + C 1

Agora nós vamos integrar a equação novamente para obter a equação da deflexão, então teremos:

E I . y = 25 x 3 3 - 25 3 < x - 0,5 > 3 - 25 3 < x - 1,1 > 3 - 2 0 < x - 0,5 > 2 + 2 0 < x - 1,1 > 2 + C 1 x + C 2

Passo 5

Beleza! Agora, para encontrar o valor das constantes C 1 e C 2 , nós vamos usar as condições de contorno que temos nos apoios, onde sabemos que não há deflexão, ou seja:

x = 0 → y = 0

x = 1,6   m → y = 0

Substituindo a primeira condição na equação para a deflexão encontrada no passo 4, teremos:

E I . 0 = 25 ( 0 ) 3 3 - 25 3 < 0 - 0,5 > 3 - 25 3 < 0 - 1,1 > 3 - 20 < 0 - 0,5 > 2 + 20 < 0 - 1,1 > 2 + C 1 0 + C 2

C 2 = 0

Agora, vamos utilizar a segunda condição de contorno para obter o valor de C 1 , então teremos:

E I . 0 = 25 ( 1,6 ) 3 3 - 25 3 < 1,6 - 0,5 > 3 - 25 3 < 1,6 - 1,1 > 3 - 20 < 1,6 - 0,5 > 2 + 20 < 1,6 - 1,1 > 2 + C 1 ( 1,6 )

0 = 34,133 - 11,092 - 1,042 - 24,2 + 5 + 1,6 C 1 → C 1 = - 1,75   k N . m 2

Então, a nossa equação para a linha elástica será:

E I . y = 25 x 3 3 - 25 3 < x - 0,5 > 3 - 25 3 < x - 1,1 > 3 - 20 < x - 0,5 > 2 + 20 < x - 1,1 > 2 + C 1 x + C 2

y = 1 E I 25 x 3 3 - 25 3 < x - 0,5 > 3 - 25 3 < x - 1,1 > 3 - 20 < x - 0,5 > 2 + 20 < x - 1,1 > 2 - 1,75 x

E a equação para a inclinação será:

E I . d y d x = 25 x 2 - 25 < x - 0,5 > 2 - 25 < x - 1,1 > 2 - 40 < x - 0,5 > 1 + 40 < x - 1,1 > 1 + C 1

d y d x = 1 E I 25 x 2 - 25 < x - 0,5 > 2 - 25 < x - 1,1 > 2 - 40 < x - 0,5 > 1 + 40 < x - 1,1 > 1 - 1,75

Passo 6

Beleza! Agora para encontrar a deflexão no ponto B pedida na letra (a), vamos utilizar a equação da deflexão encontrada no passo 5 e calcular para o ponto x = 0,5   m , então teremos:

y = 1 200.10 9 4,7.10 - 6 ( 1000 ) 25 ( 0,5 ) 3 3 - 25 3 < 0,5 - 0,5 > 3 - 25 3 < 0,5 - 1,1 > 3 - 20 < 0,5 - 0,5 > 2 + 20 < 0,5 - 1,1 > 2 - 1,75 0,5

y = 1 940.10 3 1000 1,0417 - 0,875 → y = 177,3.10 - 6   m

Observe que multiplicamos os termos dentro dos parênteses por 1000 para transformar kN para N. Quase lá em! Bora pra (b) agora!

Passo 7

Agora, para encontrar a deflexão no ponto central da viga em C, vamos utilizar a equação da deflexão novamente, só que agora calcular em x = 0,8   m , então teremos:

y = 1 200.10 9 4,7.10 - 6 ( 1000 ) 25 ( 0,8 ) 3 3 - 25 3 < 0,8 - 0,5 > 3 - 25 3 < 0,8 - 1,1 > 3 - 20 < 0,8 - 0,5 > 2 + 20 < 0,8 - 1,1 > 2 - 1,75 0,8

y = 1 940.10 3 1000 4,267 - 0,225 - 0 - 1,8 + 0 - 1,4 → y = 895,7 . 10 - 3   m

Observe que multiplicamos todos os termos dentro dos parênteses por 1000, para transformar kN para N. Prooonto! Terminamos mais um, valeeu!

Resposta

a :   y = 177,3.10 - 6   m

b :   y = 895,7.10 - 3   m

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Para a viga com o carregamento mostrado, determinar:A deflexão no ponto C
Para a viga com o carregamento mostrado, determinar a intensidade e a localização da maior deflexão do vão AB. Usar E = 200G P a .
Para uma viga em balanço com o carregamento mostrado, determinar a declividade e a deflexão no ponto B. Usar E = 200 G P a .Declividade do ponto B
Para uma viga em balanço com o carregamento mostrado, determinar a declividade e a deflexão no ponto B. Usar E = 200 G P a .Deflexão do ponto B
Para a viga com o carregamento mostrado, determinar:A reação em A