Enunciado

O barril de alumínio de cerveja vazio tem uma massa m, centro de massa em G, e raios de giração em relação aos eixos x e y de k x = k y = 5 4 r , e em relação ao eixo z de k z = 1 4 r , respectivamente. Se o barril rola sem deslizar com uma velocidade angular constante, determine seu maior valor sem que a borda A deixe o chão.

Passo 1

Uma vez que o barril rola sem deslizar, o centro instantâneo de velocidade nula está indicado na figura a seguir:

Sendo assim, ω p = ω s s e n α . Temos ainda que analisar a condição limite onde a borda A está para deixar o châo, por isso N A = 0 .

Uma vez que ψ ˙ = ω s , ϕ ˙ = - ω p = - ω s s e n α e θ = 90 - α são constantes, o barril gira sobre essa posição fixa. Sendo assim, podemos agora calcular os momentos de inércia do barril:

I = I x = I y = m 5 4 r 2 = 25 16 m r 2

I z = m 1 4 r 2 = 1 16 m r 2

Passo 2

Com base na figura apresentada no passo 1, agora podemos aplicar a equação de momento para o sistema:

∑ M x = - I ϕ ˙ 2 s e n θ c o s θ + I z ϕ ˙ s e n θ ( ϕ ˙ c o s θ + ψ ˙ )

F B c o s α r - N B s e n α r = - 25 16 m r 2 - ω s s e n α 2 s e n 90 - α cos ⁡ 90 - α + 1 16 m r 2 - ω s s e n α s e n ( 90 - α ) [ - ω s s e n α cos ⁡ 90 - α + ω s ]

F B c o s α - N B s e n α = 1 16 m r ω s 2 s e n α c o s α ( 26 s e n 2 α - 1 )

Essa será nossa equação número 1. Uma vez que o centro de massa G do barril gira com relação ao eixo Z da figura apresentada no passo 1, sua aceleração pode ser encontrada fazendo:

a G = ω p 2 R = - ω s s e n α 2 r c o s 2 α s e n α

a G = ω s 2 r s e n α cos 2 ⁡ α

Como sabemos também que o centro de massa não se move ao longo do eixo Z’ então:

a G Z ' = 0

Passo 3

Agora iremos aplicar o somatório de forças para os eixos Y’ e Z’ ainda com base na figura apresentada no passo 1:

∑ F Y ' = m a G Y '

- F B = - m ( ω s 2 r s e n α cos 2 ⁡ α )

F B = m ω s 2 r s e n α cos 2 ⁡ α

Essa será nossa equação número 2.

∑ F Z ' = m a G Z '

N B - m g = 0

N B = m g

Essa será nossa equação número 3. Agora iremos substituir as equações obtidas no passo 3 na nossa equação 1:

( m ω s 2 r s e n α cos 2 ⁡ α ) c o s α - ( m g ) s e n α = 1 16 m r ω s 2 s e n α c o s α ( 26 s e n 2 α - 1 )

Colocando ω s em evidência e isolando os termos, obtemos:

ω s = 16 g r c o s α ( 16 cos 2 ⁡ α - 26 s e n 2 α + 1 )

Resposta

ω s = 16 g r c o s α ( 16 cos 2 ⁡ α - 26 s e n 2 α + 1 )

Ver Outros Exercícios desse livro