Enunciado

Resolva o P r o b l e m a 4.16 considerando que d = 40 m m .

Passo 1

Nosso objetivo é determinar os máximos momentos fletores, e a fórmula que relaciona a tensão com o momento é dado por:

sigma_a d m = - (M y)/(I)

Como não temos a LN da nossa barra, precisamos determinar ela. Isso é de suma importância para podermos fazer toda a conta, por isso precisamos seguir um passo a passo para determinar a LN.

Para isso precisamos dividir a nossa seção em seções mais simples (sempre que for possível precisamos fazer seções retangulares) e determinar a distância do centroide de cada seção até a base da peça total, assim, temos que:

Agora para termos a linha neutra basta fazermos o seguinte:

overset(-)(y) = (A_1 y_1 + A_2 y_2)/(A_1 + A_2)

Assim temos que:

A_1 = 15 xx 40 = 600 m m^2

A_2 = 2 5 xx 20 = 500 m m^2

y_1 = 3 2,5 m m

y_2 = 12 , 5 m m

overset(-)(y) = (600 xx 3 2,5 + 5 00 xx 12 , 5)/(600 + 500) = 23,41 m m

Assim a nossa LN é:

Passo 2

Agora que temos a LN, podemos determinar o momento de inércia, e o momento de inércia vai ser dado pela seguinte equação:

I = (I_1 + I_2) + ( A_1 d_1^2 + A_2 d_2^2 )

Em que as áreas já definimos no passo anterior, e os valores de I_1 e I_2 são os momentos de inércia de cada uma das seções mais simples. E d_1 e d_2 são as distâncias do centroide de cada uma das peças mais simples até a LN, assim as medidas da nossa seção são dadas abaixo.

Além disso temos que:

I_1 = (b h^3)/(12) = 40 xx (15^3)/(12) = 11250 m m^4

I_2 = (b h^3)/(12) = 20 xx (2 5^3)/(12) = 26042 m m^4

Assim a inercia da nossa seção vai ser dada por:

I = (11250 + 26042) + ( 600 xx 9,09^2 + 500 xx 10 , 91^2 )

I = 146383 m m^4

Agora só precisamos determinar os valores de y, sendo assim teremos que ver o próximo passo.

Passo 3

O valor de y é a distância da LN para as extremidades, assim teremos que:

  • overset(-)(y) positivo e negativo

Como nosso objetivo é determinar o momento fletor, vamos precisar analisar cada situação, assim começando pela tração, vamos ter que:

y_+ = 16,59 m m

I = 146383 m m^4

sigma_t r a ç ã o = 24 M P a = 24 (N)/(m m^2)

sigma_x = - (M y)/(I)

Substituindo, teremos que:

24 [(N)/(m m^2)] = - (M xx (16,59) [ m m ])/(146383 [ m m^4 ])

M = - 211766 N m m = - 211 , 8 N m

E analisando agora a compressão teremos que:

y_- = - 23,41 m m

I = 146383 m m^4

sigma_c o m p r e s s ã o = - 30 M P a = - 30 (N)/(m m^2)

sigma_x = - (M y)/(I)

Substituindo, teremos que:

- 30 [(N)/(m m^2)] = - (M xx (- 23,41) [ m m ])/(146383 [ m m^4 ])

M = - 187590 N m m = - 187,6 N m

Como queremos que a estrutura sustente a ação que age nele, devemos escolher o menor momento, que garante a segurança no ponto que ele age, assim como o do que suporta mais momento. Assim teremos que:

M = - 187,6 N m

Resposta

M = - 187,6 N m

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