Um cabo de aço é usado para suportar uma gaiola de elevador na fundo de uma mina de 2.000 ft de profundidade. Uma deformação normal uniforme de 250 in./in. é produzido no cabo pelo peso da gaiola. No cada ponto, o peso do cabo produz uma tensão normal adicional tensão que é proporcional ao comprimento do cabo abaixo do ponto. Se a tensão normal total no cabo no tambor do cabo (extremidade superior do cabo) é de 700 in./in., determine

(a) a deformação no cabo a uma profundidade de 500 ft.

(b) o alongamento total do cabo.

Passo 1

Falaaaai meus amores?

Como estão??

Vem comigo que eu tenho um plano, no caminho eu explicoooo!

Só boraaaaa

Temos que

Tensão normal uniforme ε = 250   μ i n / i n

Profundidade da mina d = 2000 f t

Deformação normal total no tambor do cabo ε = 700   μ i n / i n

Vamos assumir y como coordenada vertical e na extremidade inferior do cabo vamos tomar a origem de y, temos a deformação normal uniforma como 250   μ i n / i n e existe um termo constante k que varia com a coordenada vertical.

ε = 250 × 10 - 6 + k y

Para encontrar o valor de k podemos substituir a deformação normal total na equação acima em y = 2000   p é s .

ε = 250 × 10 - 6 + k y

700 × 10 - 6 = 250 × 10 - 6 + k ( 2000   f t )

k = 700 × 10 - 6 - 250 × 10 - 6 2000   f t

k = 0.225 × 10 - 6 f t

Substituindo o valor de k na expressão, temos

ε = 250 × 10 - 6 + ( 0.225 × 10 - 6 ) y

Passo 2

  1. Na profundidade de 500ft, a coordenada vertical y = 1500   p é s . A deformação do cabo é
  2. ε = 250 × 10 - 6 + ( 0.225 × 10 - 6 ) y

    ε = 250 × 10 - 6 + ( 0.225 × 10 - 6 ) ( 1500   f t )

    = 587.5 × 10 - 6 i n / i n

    Passo 3

  3. O alongamento total pode ser encontrado integrando a expressão de deformação ao longo do comprimento do cabo

δ = ∫ 0 2000 f t ε d y

= ∫ 0 2000 f t 250 × 10 - 6 + ( 0.225 × 10 - 6 ) y d y

= 250 × y 0 2000 + 0.225 × 10 - 6 y 2 2 0 2000

= 250 × 10 - 6 2000 + 0.225 × 10 - 6 2000 2 2

= 0.95   f t × 12 i n f t

δ = 11.4   i n

Resposta

  1. 587.5 × 10 - 6 i n / i n .
  2. 11.4   i n .