Calcule os momentos de inércia I 1 , I 2   e   I 3 para um cone homogêneo de massa M cuja altura é h e cuja base tem um raio, R. Escolha o eixo x 3 ao longo do eixo de simetria do cone. Escolha a origem do vértice do cone e calcule os elementos do tensor de inércia. A seguir, faça uma transformada de modo que o centro de massa do cone se torne a origem e determine os momentos de inércia principais.

Passo 1

O cone da questão está representado na figura abaixo:

Passo 2

Nessa primeira parte da questão vamos calcular os elementos do tensor de inércia com a origem no vértice do cone, dessa forma vamos olhar para os eixos x i .

Pela figura é possível perceber que I i j = 0 para i ≠ j . Dessa forma os elementos diagonais I i i se tornam os principais momentos I i , que nós vamos calcular agora.

O cálculo pode ser simplificado fazendo uma observação na figura, pois nela vemos uma simetria entre os planos notados como 1 e 2, assim I 1 = I 2 ≠ I 3 . Então:

I 1 = I 2 = I 1 + I 2 2 = ρ 2 ∫ ( 2 x 3 2 + x 1 2 + x 2 2 ) d v

Que em coordenadas cilíndricas, pode ser escrito como:

I 1 = I 2 = ρ 2 ∫ 0 2 π d ϕ ∫ 0 h d z ∫ 0 R z h ( r 2 + 2 z 2 ) r d r

Onde:

ρ = M V = 3 M π R 2 h

Passo 3

Resolvendo a integral e substituindo por ρ , encontramos:

I 1 = I 2 = 3 20 M ( R 2 + 4 h ² )

Passo 4

E I 3 é dado por:

I 3 = ρ ∫ x 1 2 + x 2 2 d v = ρ ∫ r 2 ∙ r d r ∙ d ϕ ∙ d z

Passo 5

De onde temos que:

I 3 = 3 10 M R ²

E essa é a resposta da primeira parte.

Passo 6

Em seguida a questão pede que calculemos os momentos de inércia principais considerando o centro de massa do cone como a origem. Para isso vamos analisar a figura o Passo 1 em relação aos eixos x i '

Passo 7

Devido a simetria do cone, o centro de massa se encontra sobre o eixo x 3 ' . Assim as coordenadas do centro de massa são ( 0,0 , z 0 ), onde:

z 0 = ∫ x 3 d v ' ∫ d v = 3 4 h

Passo 8

Usando a forma geral do Teorema do eixo paralelo de Steiner:

I i j ' = I i j - M [ a 2 δ i j - a i a j ]

Passo 9

Para esse caso, a 1 = a 2 = 0 e a 3 = 3 4 h , então:

I 1 ' = I 1 - 9 16 M h 2 = 3 20 M ( R 2 + 1 4 h 2 )

I 2 ' = I 2 - 9 16 M h 2 = 3 20 M ( R 2 + 1 4 h 2 )

I 3 ' = I 3 - 3 10 M R ²

E essa é a reposta da segunda parte da questão.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)