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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Dinamica Classica de Particulas e Sistemas - Marion- Ed: 5º - Capítulo 11.Problemas - Ex. 3

Calcule os momentos de inércia I 1 , I 2   e   I 3 para uma elipsoide homogênea de massa M com comprimentos de eixos 2a > 2b > 2c.

Passo 1

A equação de uma elipsoide é:

x 1 2 a 2 + x 2 2 b 2 + x 3 2 c 2 = 1

Que pode ser escrita numa forma normalizada, se fizermos as seguintes substituições:

x 1 = a ξ ,     x 2 = b η ,     x 3 = c ζ

Assim a equação da elipsoide pode ser reduzida para:

ξ 2 + η 2 + ζ 2 = 1

E esta é a equação de uma esfera no sistema ( ξ , η , ζ ) .

Passo 2

Agora se a gente escrever o volume em termos de d v no sistema x i , e em termos de d τ o volume no sistema   ( ξ , η , ζ ) , daí podemos notar que o volume do elipsoide é:

V =   ∫ d v = ∫ d x 1 d x 2 d x 3 = a b c ∫ d ξ d η d ζ V = a b c ∫ d τ = 4 3 π   a b c

Isso, pois ∫ d τ é o volume de uma esfera em radiano.

Passo 3

A inercia rotacional em relação ao eixo x 3 passando através do centro de massa da elipsoide, assumindo que ela seja homogenia, é dado por:

I 3 = M V ∫ x 1 2 + x 2 2 d v

I 3 = M V a b c ∫ a 2 ξ 2 + b 2 η 2 d τ

Passo 4

Para resolver essa integral, vamos considerar a integral equivalente abaixo onde z = r   c o s θ :

∫ a ² z ² d v = ∫ a ² z ² ( r ∙ d r ∙ r ∙ s e n θ ∙ d θ ∙ d ϕ )

= a ² ∫ 0 2 π d ϕ ∫ 0 π c o s 2 θ ∙ s e n θ ∙ d θ ∫ 0 R = 1 r 4 d r

= a 2 ∙ 2 π ∙ 2 3 ∙ 1 5

= 4 π a 2 15

Passo 5

Portanto:

∫ a 2 ξ 2 + b 2 η 2 d τ = 4 π a 2 15 ( a 2 + b ² )

E dessa forma:

I 3 = 1 5 M ( a 2 + b 2 )

Resposta

Como a mesma análise pode ser aplicada para qualquer eixo, os momentos de inercia serão:

I 3 = 1 5 M ( a 2 + b 2 )

I 1 = 1 5 M ( b 2 + c 2 )

I 2 = 1 5 M ( a 2 + c 2 )