Calcule os momentos de inércia I 1 , I 2   e   I 3 para uma esfera homogênea de raio R e massa M. (Escolha a origem no centro da esfera.)

Passo 1

O cálculo será mais simples se a gente adotar as coordenadas esféricas:

x = r ∙ s e n θ ∙ c o s ϕ y = r ∙ s e n θ ∙ s e n ϕ z = r ∙ c o s θ

Passo 2

Usando a definição de momento de inercia:

I i j = ∫ ρ r δ i j ∑ k x k 2 - x i x j d v

Passo 3

Então temos que:

I 33 = ρ ∫ r 2 - z 2 d v I 33 = ρ ∫ r 2 - r 2 c o s 2 θ r 2 d r ∙ d c o s θ d θ I 33 = ρ ∫ 0 R r 4 d r ∫ - 1 + 1 ( 1 - c o s 2 θ ) d ( c o s θ ) ∫ 0 2 π d ϕ   I 33 = 2 π ρ R 5 5 ∙ 4 3

Passo 4

Como a massa da esfera pode ser representada como:

M =   4 π 3 ρ R ³

Passo 5

Substituindo a fórmula do passo 4 no resultado do passo 3:

I 33 = 2 5 M R ²

Como a esfera é simétrica a partir da origem, assim os elementos diagonais de { I } são iguais:

I 11 = I 22 = I 33 = 2 5 M R ²

Passo 6

Um típico elemento fora da diagonal é:

I 12 = ρ ∫ - x y d v I 12 = ρ ∫ r 2 s e n 2 θ ∙ s e n ϕ ∙ c o s ϕ ∙ r 2 d r ∙ d c o s θ d ϕ

Passo 7

Assim todos os elementos fora da diagonal se anulam, pois a integral em relação a ϕ é zero. Dessa forma a equação secular será:

I 11 - I 0 0 0 I 22 - I 0 0 0 I 33 - I = 0

Resposta

Dos passos 5 e 7, temos então:

I 1 = I 2 = I 3 = 2 5 M R ²