Calcule os momentos de inércia para uma esfera homogênea de raio R e massa M. (Escolha a origem no centro da esfera.)
Passo 1
O cálculo será mais simples se a gente adotar as coordenadas esféricas:
Passo 2
Usando a definição de momento de inercia:
Passo 3
Então temos que:
Passo 4
Como a massa da esfera pode ser representada como:
Passo 5
Substituindo a fórmula do passo 4 no resultado do passo 3:
Como a esfera é simétrica a partir da origem, assim os elementos diagonais de são iguais:
Passo 6
Um típico elemento fora da diagonal é:
Passo 7
Assim todos os elementos fora da diagonal se anulam, pois a integral em relação a é zero. Dessa forma a equação secular será:
Resposta
Dos passos 5 e 7, temos então: