Calcule a seção transversal diferencial σ θ e a seção transversal total σ l , do espalhamento elástico de uma partícula a partir de uma esfera impenetrável; o potencial é expresso por:

U = 0 ,   s e   r > a ∞ ,   s e   r < a

Passo 1

E aí pessoal, belezinha? Vamos trabalhar agora em algumas questões de dinâmica de um sistema de partículas.

A mudança no ângulo para uma partícula de massa µ movendo-se em um campo de força central é dado pela Equação 9.121 (página 324). Daí temos que:

∆ ψ = ∫ r m i n r m a x l r 2 d r 2 μ E - U - l 2 2 μ r 2

Na dispersão de uma esfera impenetrável, rmin é o raio dessa esfera. Além disso, podemos ver na figura que θ = π − 2ψ.

Para r > rmin, U = 0. Daí:

∆ ψ = ∫ a ∞ l r 2 d r 2 μ E - l 2 r 2

Substituindo:

b 2 μ T 0 ' = l ; e   E = T 0 '

Obtemos:

∆ ψ = ∫ a ∞ d r r r 2 b 2 - 1

Esta integral pode ser resolvida usando a Eq. (E.10b), Apêndice E:

ψ = a r c   s e n   - 2 r 4 b 2 a ∞

Desta forma:

s e n   ψ = b a

Portanto, podemos encontrar a relação entre θ e b substituindo (θ = π − 2ψ) na equação acima, obtendo:

b = acos ⁡ θ 2

Agora, a seção transversal diferencial é dada pela Eq. (9.120):

σ θ = b s e n   θ   d b d θ = > σ θ = 1 s e n   θ acos ⁡ θ 2 a 2   s e n θ 2 = a 2 4

A seção transversal total é dada por:

σ t = ∫ σ θ d Ω = a 2 4 ∙ 4 π = > σ t = π a 2

Resposta

Ver passo a passo.