Um canhão instalado em um forte com visão do mar dispara um projétil de massa M em um ângulo de elevação θ e velocidade na boca do canhão v0. No ponto mais alto, o projétil explode em dois fragmentos (massas m1 + m2 = M), com energia adicional E, deslocando-se na direção horizontal original. Determine a distância que separa os dois fragmentos quando eles tocam o mar. Para simplificar, suponha que o canhão se encontra no nível do mar.

Passo 1

E aí pessoal, belezinha? Vamos trabalhar agora em algumas questões de dinâmica de um sistema de partículas.

A partir do enunciado temos o esquema do problema:

Primeiro, encontramos o tempo necessário para ir de A até B examinando o movimento. A equação para a componente y da velocidade é:

v y = v 0 s e n   θ - g t

Em B, vy = 0. Então, tB = (v0 sen θ)/g.

A casca explode dando a m1 e m2 velocidades horizontais v1 e v2 (na direção original). Resolvemos para v1 e v2 usando conservação de momento e energia.

p x : m 1 + m 2 v 0 cos ⁡ θ = m 1 v 1 + m 2 v 2

E : 1 2 m 1 + m 2 v 0 2 cos 2 ⁡ θ + E = 1 2 m 1 v 1 2 + 1 2 m 2 v 2 2

Isolando v2 na equação da quantidade de movimento, e substituindo na equação da energia, teremos:

v 1 = v 0 cos ⁡ θ ± 2 m 2 E m 1 m 1 + m 2

Daí, temos que:

v 2 = v 0 cos ⁡ θ ∓ 2 m 1 E m 1 m 1 + m 2

Agora precisamos das posições onde m1 e m2 aterrissam. O tempo para cair no oceano é o mesmo que o tempo que levou para ir de A até B. Chamando o local onde a concha explode x = 0 temos as posições de m1 e m2 no desembarque dadas, respectivamente, por:

x 1 - v 1 t B   e   x 2 - v 2 t B

Então:

x 1 - x 2 = v 0 s e n   θ g v 1 - v 2

Usando as equações obtidas para v1 e v2, temos que:

x 1 - x 2 = v 0 s e n   θ g v 0 cos ⁡ θ ± 2 m 2 E m 1 m 1 + m 2 - v 2 = v 0 cos ⁡ θ ∓ 2 m 1 E m 1 m 1 + m 2 =

= v 0 s e n   θ g 2 E m 1 + m 2 m 1 m 2 + m 2 m 1

Resposta

Ver passo a passo.