Enunciado

Para o carregamento mostrado nas figuras, determine ( a ) a equação da linha elástica para a viga em balanço A B , ( b ) a deflexão da extremidade livre e ( c ) a inclinação na extremidade livre.

Passo 1

Fala aí, pessoal. Tudo certo? Bora fazer mais um exercício pra ficar craque.

Primeiro, vamos considerar a reação no ponto B como redundante e esboçar o DCL para este caso, temos:

Em seguida, vamos utilizar a equação de momento no ponto k para determinarmos a equação para o momento fletor:

∑ M k = 0 w 0 x 2 2 L x 3 +   M = 0 M = - w 0 x 3 6 L

Com isso, podemos substituir esta equação que encontramos na equação diferencial da linha elástica. Ela é dada por:

E I d 2 y d x = M

Substituindo:

E I d 2 y d x 2 = - w 0 x 3 6 L

Agora, considerando a rigidez à flexão constante, vamos integrar esta equação duas vezes, para obtermos, respectivamente, a equação para a força cortante e a equação da linha elástica. Integrando, temos:

E I d y d x = - w 0 x 4 24 L + C 1

Integrando mais uma vez:

E I y = - w 0 x 5 120 L + C 1 x + C 2

Passo 2

O próximo passo para encontrarmos a equação da linha elástica é determinarmos as constantes. Para isso, vamos utilizar as condições de contorno. São elas:

x = L → d y d x = 0 x = L → y = 0

Ou seja, quando x está no ponto B , a força cortante é nula. E também, no mesmo ponto, a equação para linha elástica é igual a 0 . Com isso, vamos substituir estas condições nas respectivas equações para determinarmos as constantes. Para a primeira:

d y d x = - w 0 ( L ) 4 24 L + C 1 = 0 C 1 = 1 24 w 0 L 3

E para a segunda condição, temos:

y = - w 0 ( L ) 5 120 L + C 1 L + C 2 = 0 C 2 = - 1 30 w 0 L 4

Com as constantes definidas, basta as substituirmos na equação que encontramos anteriormente. Fica assim:

E I y = - w 0 x 5 120 L + 1 24 w 0 L 3 x + - 1 30 w 0 L 4 y = - w 0 x 5 120 E I L ( x 5 - 5 L 4 x + 4 L 5 )

Esta é a nossa equação para a linha elástica.

Passo 3

Em seguida, para determinarmos a deflexão da extremidade livre basta utilizarmos a equação para a linha elástica que encontramos no item anterior e substituirmos no ponto em que a extremidade está livre, neste caso, em x = 0 . Assim, substituindo:

y = - w 0 x 5 120 E I L ( x 5 - 5 L 4 x + 4 L 5 ) y A = - w 0 ( L ) 5 120 E I L ( L 5 - 5 L 4 ( L ) + 4 L 5 ) y A = w 0 L 4 30 E I

Passo 4

Por fim, para determinarmos a a inclinação na extremidade livre vamos utilizar a equação para a força cortante e substituirmos no ponto indicado. Neste caso, em x = 0 . Portanto:

d y d x = - w 0 ( L ) 4 24 L + 1 24 w 0 L 3 θ A = w 0 L 3 24 E I

É isso, galera! Vamos fazer mais questões.

Resposta

y = - w 0 x 5 120 E I L ( x 5 - 5 L 4 x + 4 L 5 )

y A = w 0 L 4 30 E I

θ A = w 0 L 3 24 E I

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