Uma chapa homogênea de espessura a é colocada sobre um cilindro fixo de raio R cujo eixo é horizontal. Demonstre que a condição de equilíbrio estável da chapa, supondo a ausência de escorregamento, é R > a/2. Qual será a frequência das pequenas oscilações? Desenhe um gráfico da energia potencial U como função do deslocamento angular θ . Demonstre que existe um mínimo em θ = 0 para R > a/2, mas não para R

Passo 1

O diagrama mostra a chapa rotacionando a um ângulo θ a partir de sua posição de equilíbrio. No equilíbrio o ponto de contato é Q e após a rotação o ponto de contato é P . No equilíbrio o

a posição do centro de massa da chapa é C e após a rotação a posição é C ' .

Como estamos considerando apenas pequenas alterações, iniciando em θ = 0 , podemos escrever:

Q - P - ≅ R θ

Portanto as coordenadas de C ' serão:

r = O A + A C '

Passo 2

Então:

x = R + a 2 s e n θ - R θ c o s θ y = R + a 2 c o s θ - R θ s e n θ

Consequentemente:

x ˙ = R + a 2 c o s θ - R c o s θ + R θ s e n θ θ ˙ =   a 2 c o s θ + R θ s e n θ θ ˙

y ˙ = - R + a 2 s e n θ - R θ c o s θ + R s e n θ θ ˙ =   - a 2 s e n θ + R θ c o s θ θ ˙

De onde podemos dizer:

x ˙ 2 + y ˙ 2 = a 2 4 + R 2 θ ² θ ˙ ²

Passo 3

A energia cinética é:

T = 1 2 M x ˙ 2 + y ˙ 2 + 1 2 I θ ˙ ²

Onde I é o momento de inércia da chapa em relação a um eixo que passa pelo centro de

massa e paralela ao eixo z :

I = 1 12 M ( l 2 + a 2 )

Portanto:

T = 1 2 f 1 θ θ ˙ ²

Onde:

f 1 θ = M a 2 4 + R 2 θ ² + I

Já a energia potencial é:

U = M g y = - f 2 ( θ )

Substituindo o valor de y encontrado no Passo 1, temos:

f 2 θ = - M g R + a 2 c o s θ + R θ s e n θ

Passo 4

A equação de Lagrange para θ é:

L = 1 2 f 1 θ θ ˙ 2 + f 2 ( θ )

d d t ∂ L ∂ θ ˙ - ∂ L ∂ θ = 0

Então, agora:

∂ L ∂ θ ˙ = f 1 θ θ ˙

d d t ∂ L ∂ θ ˙ = f 1 θ θ ¨ + f ˙ 1 θ θ ˙ = M a 2 4 + R 2 θ ² + I θ ¨ + 2 M R 2 θ   θ ˙ ²

∂ L ∂ θ = 1 2 f 1 ' θ θ ˙ 2 + f 2 ' θ = M R 2 θ   θ ˙ 2 + M g R + a 2 s e n θ - R θ c o s θ - R s e n θ

Combinando as equações, temos:

M a 2 4 + R 2 θ ² + I θ ¨ + M R 2 θ   θ ˙ 2 - M g R + a 2 s e n θ - R θ c o s θ - R s e n θ = 0

Passo 5

Para o caso de pequenas oscilações, θ 2 ≪ θ e θ ˙ 2 ≪ θ ˙ , então a equação final do Passo 4 pode ser reduzida para:

θ ¨ + M g R - a 2 M a 2 4 + I θ = 0

O sistema é estável para oscilações próximas de θ = 0 , apenas se:

M g R - a 2 M a 2 4 + I = ω 2 > 0

E essa condição só é satisfeita se R - a 2 > 0 , então R > a 2

Então a frequência, escrito de uma forma simplificada, é:

ω = 12 g R - a 2 l 2 + 4 a 2

Passo 6

De acordo com o Passo 3 a energia potencial tem as seguintes formas para R > a 2 e R < a 2 :

Passo 7

Para verificar que a condição de estabilidade existe apenas para R > a 2 , é preciso verificar ∂ 2 U / ∂ θ 2 com θ = 0 :

∂ U ∂ θ = M g - a 2 s e n θ + R θ c o s θ

∂ 2 U ∂ θ 2 = M g - a 2 c o s θ + R c o s θ - R θ s e n θ

∂ 2 U ∂ θ 2 θ = 0 = M g R - a 2

∂ 2 U ∂ θ 2 > 0   s e   R > a 2

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)