O cilindro sólido tem um raio externo R, altura h, e é feito de um material cuja densidade varia de seu centro como ρ = k + a r 2 , onde k e a são constantes. Determine a massa do cilindro e seu momento de inércia em relação ao eixo z.

Passo 1

E aí pessoal o enunciado pede que a gente determine a massa do cilindro e seu momento de inércia em relação ao eixo z.

Considere um elemento de casca de raio r e massa

d m = ρ d V = ρ ( 2 π r d r ) h

m = ∫ 0 R   k + a r 2 ( 2 π r d r ) h

m = 2 π h k R 2 2 + a R 4 4

m = π h R 2 k + a R 2 2

d I = r 2 d m = r 2 ( ρ ) ( 2 π r d r ) h

I z = ∫ 0 R   r 2 k + a r 2 ( 2 π r d r ) h

I z = 2 π h ∫ 0 R   k r 3 + a r 5 d r

I z = 2 π h k R 4 4 + a R 6 6

I z = π h R 4 2 k + 2 a R 2 3

Resposta

m = π h R 2 k + a R 2 2 I z = π h R 4 2 k + 2 a R 2 3