Um circuito com um indutor não linear pode ser modelado pelas Equações diferenciais de primeira ordem.

d x d t = y

d y d t = - k y - x 3 + B c o s   t

Oscilações caóticas para esta situação foram estudadas extensivamente. Utilize um computador para construir o gráfico da seção de Poincaré para o caso k = 0,1 e 9,8 ≤ B ≤ 13,4 . Descreva o mapa.

Passo 1

E aí pessoal, belezinha? Vamos trabalhar agora em algumas questões de oscilações não lineares e caos.

O seguinte sistema de equações diferenciais foi integrado numericamente:

x ˙ y ˙ = y - 0,1 y - x 3 + B c o s   t

Usando diferentes valores de B na faixa [9,8; 13,4], e com uma variedade de condições iniciais. A faixa de integração é de um grande número de ciclos de acionamento, descartando os primeiros antes de começar a armazenar os dados para reduzir os efeitos da resposta transitória. Para o caso B = 9,8, temos uma órbita de um período por três ciclos de acionamento. O gráfico do espaço de fase (linha) e a seção de Poincaré (caixas) para este caso são sobrepostos e mostrados na figura (a).

Todas as integrações são feitas aqui com 100 pontos por ciclo de acionamento. Pode-se experimentar com B e determinar que o sistema se torna caótico em algum lugar entre 9,8 e 9,9. A seção para B = 10,0, criada pela integração de mais de 8.000 ciclos de acionamento, é mostrada na figura (b).

Se mais um experimento com diferentes valores de B, e também tiver a sorte de ter as condições iniciais corretas, (0, 0) é aquela que funciona, então uma transição será encontrada para B no intervalo (11,6; 11,7). Como exemplo dos diferentes resultados que se podem obter dependendo das condições iniciais, mostramos dois gráficos na figura (c).

Um é um gráfico de fase, sobreposto com sua seção, para B = 12,0 e a condição inicial (0,0). O exame da evolução do tempo revela que ela tem um período por ciclo. O segundo gráfico é uma seção de Poincaré para o mesmo B, mas com a condição inicial (10, 0), mostrando claramente o movimento caótico. Observe que a seção se parece bastante com a de B = 10,0. Outra transição está na faixa (13,3; 13,4), onde as órbitas voltam a ser regulares, com um período por ciclo de acionamento, independente das condições iniciais. O gráfico de fase para B = 13,4 é semelhante ao de B = 12,0 e condição inicial (0, 0).

Para resumir, podemos enumerar os pontos de transição acima por B1, B2 e B3. Contornando a tarefa real de calcular onde estão esses pontos de transição, sabemos que, 9,8

  • B
  • B1
  • B2
  • B3

Devemos nos lembrar, porém, que a lista acima só se aplica a B na faixa que examinamos aqui. Não conhecemos o comportamento quando B 13,4, sem ir além do escopo deste problema.

Resposta

Ver passo a passo.