Enunciado

Um colar D de 5   k g desloca-se ao longo da barra uniforme A B e choca-se com uma pequena placa presa na extremidade A da barra, com uma velocidade v 0 = 6   m / s . Usando E = 200   G P a e sabendo-se que a tensão admissível na barra é de 250   M P a , determinar o maior diâmetro que pode ser usado para a barra.

Passo 1

Fala aí, pessoas lindas! Como vai a vida?

Vamos fazer um exercício de carregamento axial produzido por impacto?

Essa questão quer saber qual é o valor de diâmetro d da barra A B que faz a tensão máxima na produzida pelo impacto σ m ser igual à tensão admissível σ a d m .

σ m = σ a d m

Ou seja, o colar D de massa m com velocidade v 0 se choca com a ponta A da barra, produzindo uma tensão máxima σ m nela e queremos saber o diâmetro d que faz essa tensão valer σ a d m . A tensão máxima σ m axial produzida em uma barra de comprimento L e módulo de elasticidade E e volume V é calculada através da equação 10.39 do livro.

σ m = m v 0 2 E V

A figura abaixo mostra os dados que temos para calcular d .

Agora que entendemos o que precisamos calcular, vamos começar a resolver o exercício no próximo passo.

Passo 2

Nós que queremos calcular o diâmetro d da barra, mas até agora nós só vimos fórmulas onde o diâmetro d da barra não aparece. Para fazer o d aparecer, temos que lembrar que o volume V da barra cilíndrica vale:

V = π d 2 L 4

Substituindo isso na equação de σ m , achamos:

σ m = m v 0 2 E V       ⟹       σ m = m v 0 2 E π d 2 L 4       ⟹       σ m = 4 m v 0 2 E π d 2 L

Substituindo σ m na equação de σ a d m e reorganizando a equação, somos capazes de criar uma fórmula para calcular d .

σ m = σ a d m       ⟹       4 m v 0 2 E π d 2 L = σ a d m       ⟹       d = 4 m v 0 2 E π σ a d m 2 L

Passo 3

Nós já temos tudo o que precisamos para achar d ! Mas vamos com calma! Antes de substituir os valores que temos na equação de d , precisamos converter as unidades de σ a d m e E .

Temos que passar σ a d m de M P a para P a , multiplicando o valor por 10 6 e temos que converter E de G P a para P a , multiplicando E por 10 9 .

σ a d m = 250   M P a       ⟹       σ a d m = 250 × 10 6   P a

E = 20 0   G P a       ⟹       E = 20 0 × 10 9   P a

Agora sim podemos calcular d !

d = 4 m v 0 2 E π σ a d m 2 L       ⟹       d = 4 × 5 × 6 2 × 200 × 10 9 π × 250 × 10 6 2 × 1,2       ⟹       d = 0 , 0247   m

Obaaaaa! Já acabamos com o exercício!

Resposta

d = 0 , 0247   m

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