Em uma colisão elástica entre duas partículas com massas m1 e m2 as velocidades iniciais são u1 e u2 = αu1. Se as energias cinéticas iniciais das duas partículas forem iguais, determine as condições em u1/u2 e m1/m2 de modo que m1 permaneça em repouso após a colisão. Examine ambos os casos para o sinal de α.

Passo 1

E aí pessoal, belezinha? Vamos trabalhar agora em algumas questões de dinâmica de um sistema de partículas.

Como as energias cinéticas iniciais das duas partículas são iguais, temos:

1 2 m 1 u 1 2 = 1 2 m 2 u 2 2 = 1 2 α 2 m 2 u 1 2   o u   m 1 m 2 = α 2

Agora, a energia cinética do sistema é conservada porque a colisão é elástica. Portanto:

1 2 m 1 u 1 2 = 1 2 m 2 u 2 2 = 1 2 m 2 v 2 2

A quantidade de movimento também é conservada, então podemos escrever:

m 1 u 1 + m 2 u 2 = m 1 + α m 2 u 1 = m 2 v 2

Fazendo algumas substituições:

m 1 u 1 2 = 1 2 m 2 m 1 + α m 2 m 2 2 u 1 2 = > m 1 = 1 2 m 2 m 1 m 2 + α 2

Usando m 1 m 2 = α 2 temos:

2 α 2 = α 2 + α 2 = > α 4 + 2 α 3 + α 2 - 2 α 2 = 0 = > α 2 α 2 + 2 α - 1 = 0

= > α = 0   Q u e   n ã o   é   i n t e r e s s a n t e   o u   α = - 1 ± 2 2

= > α 2 = 3 2 ∓ 2

Isto nos dá:

m 1 m 2 = 3 ∓ 2 2   e   u 2 u 1 = - 2 ± 2 2

Resposta

Ver passo a passo.