Enunciado

6. As componentes do estado plano de deformação no ponto sobre uma chave são ϵ x = ( 120 × 10 - 6 ) , ϵ y = ( - 180 × 10 - 6 ) e γ x y = ( 150 × 10 - 6 ). Use as equações de transformação da deformação para determinar as deformações principais no plano e a deformação por cisalhamento máxima no plano e a deformação normal média. Em cada caso, especifique a orientação do elemento e mostre como as deformações distorcem o elemento no plano x - y .

Passo 1

Primeiro, calcularemos as deformações principais no plano:

ϵ 1,2 =   ϵ x + ϵ y 2 ± ϵ x - ϵ y 2 2 + γ x y 2 2

Trocando os valores numéricos na fórmula:

ϵ 1,2 = 120 + - 180 2 ± 120 - - 180 2 2 + 150 2 2 ( 10 - 6 )

ϵ 1,2 ≅ - 30 × 10 - 6 ± ( 167,705 × 10 - 6 )

ϵ 1 ≅ ( 138 × 10 - 6 )

ϵ 2 ≅ ( 198 × 10 - 6 )

Passo 2

E agora vamos calcular a tangente de 2 θ p , afinal precisamos dele para determinar nossas deformações:

tg ⁡ 2 θ p = γ x y ϵ x - ϵ y = ( 150 × 10 - 6 ) 120 × 10 - 6 - ( - 180 × 10 - 6 ) = 0,5

2 θ p = 26,6 °

Obtemos então nosso primeiro ângulo θ p 1 como metade de 2 θ :

θ p 1 = 13,3 °

E θ p 2 , como a adição de θ p 1 com 90 ° :

θ p 2 = 13,3 ° - 90 ° = - 76,7 °

Passo 3

Calculando agora ϵ x ' :

ϵ x ' =   ϵ x + ϵ y 2 +   ϵ x - ϵ y 2   ⋅ cos ⁡ 2 θ +   γ x y 2 ⋅ sen ⁡ ( 2 θ )

ϵ x ' = 120 + 180 2 + 120 - - 180 2   ⋅ cos ⁡ 26,6 ° + ( 150 ) 2 ⋅ sen ⁡ 26,6 ° ( 10 - 6 )

ϵ x ' = ( 138 × 10 - 6 )

Passo 4

E em seguida, calcularemos a deformação por cisalhamento máximo no plano, através da fórmula abaixo:

γ m á x , p l a n o 2 = ϵ x - ϵ y 2 2 + γ x y 2 2

Trocando por valores numéricos:

γ m á x , p l a n o 2 = 120 × 10 - 6 - - 180 × 10 - 6 2 2 + ( 150 × 10 - 6 ) 2 2

γ m á x , p l a n o = 335,4 × 10 - 6  

Passo 5

E a deformação normal média, finalmente, é dada por:

ϵ m é d i a = ϵ x + ϵ y 2

Substituindo os valores numéricos adequados:

ϵ m é d i a = 120 × 10 - 6 + - 180 × 10 - 6 2 = - 30 × 10 - 6

ϵ m é d i a = - 30 × 10 - 6

Passo 6

Agora, vamos determinar o ângulo cisalhante, calculando primeiro a tangente de ( 2 θ s ) , através da sua fórmula:

tg ⁡ 2 θ s = ϵ x - ϵ y γ x y = 120 × 10 - 6 - ( - 180 × 10 - 6 ) ( 150 × 10 - 6 ) = - 2

2 θ s = - 63,4 °

O primeiro ângulo θ s 1 é dado pela metade do ângulo 2 θ s :

θ s 1 = - 31,7 °

E o segundo ângulo θ s 2 é dado por:

θ s 2 = - 31,7 ° + 90 ° = 58,3 °

Resposta

As deformações principais no plano são:

ϵ 1 = ( 138 × 10 - 6 )

ϵ 2 = ( 198 × 10 - 6 )

A deformação por cisalhamento máximo é:

γ m á x , p l a n o = 335,4 × 10 - 6  

E a deformação normal média é dada por:

ϵ m é d i a = - 30 × 10 - 6

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O bloco é deformado até chegar à posição mostrada pelas linhas tracejadas. Determine a deformação normal média ao longo da reta AB.
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