Considere o caso de um pêndulo duplo mostrado na Figura 12.E onde o pêndulo superior possui o comprimento L 1 , o comprimento do inferior é de L 2 , de maneira similar, as massas da, cabeças são   n 1   e   n 2 . O movimento acontece somente no plano. Encontre e descreva os modos e coordenadas normais. Assuma pequenas oscilações.

Passo 1

Fala aí galera, beleza? Nessa questão as coordenadas do sistema são dadas na figura:

Passo 2

Olha só, daí a energia cinética será:

E a energia potencial:

Passo 3

Agora é hora das frequências...

Frequências de oscilação adequadas são soluções da equação:

Com isso a autofrequencia para ω 1 é a 11 a 21 onde:

E... a autofrequencia para ω 2 é a 1 2 a 2 2 onde:

Passo 4

Expressões complicadas no passo anterior né? Mas relaxa que a parada aqui é verificar que a 11   e   a 21 têm o mesmo sinal a 11 a 21 > 0   enquanto a 12   e   a 22 tem sinais opostos a 1 2 a 2 2 < 0 .

Assim a relação entre as coordenadas ( θ 1 ,   θ 2 ) e as coordenadas normais η 1 ,   η 2 é

Daí para visualizar a coordenada normal η 1 , vamos deixar η 2 = 0 . E daí para visualizar a coordenadas normal η 2 , vamos deixar que η 1 = 0 .

Resposta

E olha só que legal, como a 11 a 21 > 0 e a 12 a 22 < 0 , vemos que essas coordenadas normais descrevem dois modos de oscilação. No primeiro, os dois pêndulos se movem em direções opostas e no segundo, os dois pêndulos se movem na mesma direção.