Considere um disco fino composto por duas metades homogêneas conectadas ao longo de um diâmetro do disco. Se uma metade tiver densidade ρ e a outra tiver densidade 2 ρ , determine a expressão da lagrangiana quando o disco rola sem escorregar ao longo de uma superfície horizontal. (A rotação ocorre no plano do disco.)

Passo 1

O centro de massa do disco é 0 , x - 2 , onde:

x 2 - = ρ M 2   ∫ s e m i c i r c u l o i n f e r i o r   x 2 d x 1 d x 2 + ∫ s e m i c i r c u l o s u p e r i o r   x 2 d x 1 d x 2

x 2 - = ρ M ∫ 0 R ∫ 0 π ( r s e n θ ) ∙ r d r d θ + 2 ∫ 0 R ∫ π 2 π r s e n θ ∙ r d r d θ

Assim o centro de massa pode ser escrito como:

x 2 - = - 3 2 ρ R 3 M

M = ρ 1 2 π R 2 + 2 ρ 1 2   π R 2

M = 3 2   ρ π R 2

Logo:

x 2 - = - 4 9 π R

Passo 2

O cálculo direto da inércia rotacional em relação a um eixo que passa pelo centro de massa é moroso, então primeiro calculamos I em relação ao eixo x 3 e então usamos o teorema de Steiner.

I 3 = ρ ∫ 0 R ∫ 0 π ( r 2 ) ∙ r d r d θ + 2 ∫ 0 R ∫ π 2 π r 2 ∙ r d r d θ

I 3 = 3 4   ρ π R 4 = 1 2 M R ²

Então:

I 0 = I 3 - M   x - 2 2

I 0 = 1 2 M R 2 - M 16 81 π 2 R 2

I 0 = 1 2 M R ² 1 - 32 81 π 2

Quando o disco gira sem escorregar, a velocidade do centro de massa pode ser obtida por:

x C M = R θ - x - 2 s e n θ

y C M = R - x - 2 c o s θ

x ˙ C M = R θ ˙ - x - 2 θ ˙ c o s θ

y ˙ C M = x - 2 θ ˙ s e n θ

( x ˙ C M + y ˙ C M ) = V 2 = R 2 θ ˙ 2 + x - 2 2 θ ˙ 2 - 2 θ ˙ ² R x - 2 c o s θ

Onde:

V 2 = a 2 θ ˙ ²

a = R 2 + x - 2 2 - 2 R x - 2 c o s θ

a = 1 + 16 81 π 2 - 8 9 π   c o s θ

Passo 3

A energia cinética pode ser entendida como:

T = 1 2 M R 2 θ ˙ 2 3 2 - 8 9 π   c o s θ

A energia potencial é:

U = 1 2 M g R 1 - 8 9 π   c o s θ

Por fim a Lagrangiana:

L = 1 2 M R R θ ˙ 2 3 2 - 8 9 π   c o s θ - g 1 - 8 9 π   c o s θ

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)