Considere dois osciladores acoplados idênticos (como na Figura 12.1). Deixe cada um dos osciladores ser amortecido e com o mesmo parâmetro de amortecimento β. Uma força F0cos ωt é aplicada a m1. Escreva o par de equações diferenciais acopladas que descreve o movimento. Obtenha a solução expressando as equações diferenciais nos termos das coordenadas normais fornecidas pela Equação 12.11 e comparando estas equações com a Equação 3.53. Mostre que as coordenadas normais η1 e η2 exibem os picos de ressonância nas frequências características ω1 e ω2, respectivamente.

Passo 1

E aí pessoal, belezinha? Vamos trabalhar agora em algumas questões de oscilações acopladas.

As equações do movimento são:

m x ¨ 1 + b x ˙ 1 + k + k 12 x 1 - k 12 x 2 = F 0 cos ⁡ ω t

m x ¨ 2 + b x ˙ 2 + k + k 12 x 2 - k 12 x 1 = 0

As coordenadas normais são as mesmas do caso não amortecido [veja as Eqs. (12.11)]:

η 1 = x 1 - x 2   e   η 2 = x 1 + x 2

Expressas em termos dessas coordenadas, as equações de movimento se tornam:

m ( η ¨ 2 + η ¨ 1 ) + b ( η ˙ 2 + η ˙ 1 ) + k + k 12 η 2 + η 1 - k 12 ( η 2 - η 1 ) = 2 F 0 cos ⁡ ω t

m ( η ¨ 2 - η ¨ 1 ) + b ( η ˙ 2 - η ˙ 1 ) + k + k 12 η 2 - η 1 - k 12 η 2 + η 1 = 0

Adicionando e subtraindo essas equações, obtemos as equações desacopladas:

η ¨ 1 + b m η ˙ 1 + k + 2 k 12 m η 1 = F 0 m cos ⁡ ω t

η ¨ 2 + b m η ˙ 2 + k m η 2 = F 0 m cos ⁡ ω t

Com as seguintes definições:

2 β = b m ;   ω 1 2 = k + 2 k 12 m ;   ω 2 2 = k m   e   A = F 0 m

As equações ficam:

η ¨ 1 + 2 β η ˙ 1 + ω 1 2 η 1 = A cos ⁡ ω t   e   η ¨ 2 + 2 β η ˙ 2 + ω 2 2 η 2 = A cos ⁡ ω t

Referindo-se à Seção 3.6, vemos que as soluções para η1(t) e η2(t) são exatamente as mesmas dadas para x(t) na Eq. (3,62). Como resultado η1(t) exibe uma ressonância em ω = ω1 e η2(t) exibe uma ressonância em ω = ω2.

Resposta

Ver passo a passo.