Considere duas funçóes contínuas quaisquer de coordenadas e quantidades de movimento generalizadas g q k , p k e h q k , p k . Os parênteses de Poisson são definidos por:

g   h = ∑ k ∂ g ∂ q k ∂ h ∂ p k - ∂ g ∂ p k ∂ h ∂ q k

Verifique as seguintes propriedades dos parênteses de Poisson:

  1. d g d t = g , H + ∂ g d t
  2. q j ' = q , H ,       p j ' = p j ,   H
  3. p l ,   p j = 0 ,       q l ,   q j = 0
  4. q j ,   p j = δ l j

onde H é a hamiltoniana. Se os parênteses de Poisson de duas quantidades desaparecerem, as quantidades são consideradas como comutando. Se os parênteses de Poisson de duas quantidades for igrral à unidade, as quantidades sáo consideradas como canonicamente conjugadas. (e) Demonstre que qualquer quantidade que não depende explicitamente do tempo e que comuta com a hamiltoniana é uma constante de movimento do sistema. O formalismo dos parênteses de Poisson é de considerável importância na mecânica quântica.

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba??

Muitos passos e muitas contas... chega junto:

Para a):

Usando a definição de derivada total:

d g d t = ∂ g ∂ t + ∑ k ∂ g ∂ q k ∂ q k ∂ p k + ∂ g ∂ p k ∂ p k ∂ t

Usando as equações canônicas:

∂ q k ∂ t = q k ' = ∂ H ∂ p k

∂ p k ∂ t = p k ' = - ∂ H ∂ q k

Assim podemos fazer:

d g d t = ∂ g ∂ t + ∑ k ∂ g ∂ q k ∂ H ∂ p k - ∂ g ∂ p k ∂ H ∂ q k

∴ d g d t = ∂ g ∂ t + g , H                   c . q . d

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Obrigado por vir.

Para b)

Igualmente ao passo a) para as equações canônicas:

∂ q j ∂ t = q j ' = ∂ H ∂ p j

q j , H = ∑ k ∂ q j ∂ q k ∂ H ∂ p k - ∂ g j ∂ p k ∂ H ∂ q k

Sabemos que:

∂ q j ∂ q k = δ j k

E:

∂ q j ∂ p k = 0

Assim:

q j , H = ∂ H ∂ p j = q j '       c . q .     d

E da mesma maneira:

p j ,   H = p j '           c . q . d

Para c)

Por definição, sabemos que:

p k , p j = ∑ l ∂ p k ∂ q l ∂ p j ∂ p l - ∂ p k ∂ p l ∂ p j ∂ q l

Também sabemos que:

∂ p k ∂ q l = 0

De forma que o termo da direita é nulo, logo:

p k , p j = 0               c . q . d

E é similar para q k , q j veja:

  q k , q j = ∑ l ∂ q k ∂ q l ∂ q j ∂ p l - ∂ q k ∂ p l ∂ q j ∂ q l

∂ q j ∂ p l = 0

∴   q k , q j = 0             c . q . d

Para d)

q k ,   p j = ∑ l ∂ q k ∂ q l ∂ p j ∂ p l - ∂ q k ∂ p l ∂ p j ∂ q l

Como já dito:

∂ q k ∂ q l = δ k l

∂ p j ∂ p l = δ j l

∂ q k ∂ p l = 0

Assim:

q k ,   p j = ∑ k δ k l δ j l

Ou:

q k ,   p j = δ k j

Passo 3

Para e)

Façamos g p k , q k ser uma quantidade que não depende explicitamente do tempo. Se g p k , q k comuta com a hamiltoniana, se:

g , H = 0

Assim, da equação que achamos em a)

d g d t = ∂ g ∂ t + g , H = 0

Resposta

A resolução está nos passo-a-passo.