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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Dinamica Classica de Particulas e Sistemas - Marion- Ed: 5º - Capítulo 13.Problemas - Ex. 19

Considere um fio contínuo, infinitamente longo com densidade de massa linear ρ 1 para x < 0 e para x > L   , mas densidade ρ 2 > ρ 1 para 0 < x < L . Se um trem de ondas oscilando com uma frequência angular ω incide da esquerda na seção de alta-densidade do fio, encontre as intensidades refletidas e transmitidas para as várias porções do fio. Encontre um valor de Z que permita uma transmissão máxima através da seção de alta-tensão. Discuta brevemente a relação deste problema com a aplicação de revestimentos não refletivos em lentes ópticas.

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba??

Como dito:

ρ = ρ 1 , s e   x < 0 ; x > L ρ 2 > ρ 1 s e   0 < x < L

Dividamos em três partes para resolvermos, isto é, I → x < 0 ,   I I → 0 < x < L e I I I → x > L

Seja A e i ω t - k 1 x a onda,oscilando com frequência ω , incidente da esquerda em II, escrevamos as equações de onda para os três casos:

Ψ I = A e i ω t - k 1 x + B e i ω t + k 1 x = e i ω t A e - i k 1 x   + B e i k 1 x                                                 s i s t e m a   1

Ψ I I = C e i ω t - k 2 x + D e i ω t + k 2 x = e i ω t C e - i k 2 x + D e i k 2 x

Ψ I I I = E e i ω t - k 1 x

Onde:

k 1 = ω V 1 ,         k 2 = ω V 2 ,         V 1 = τ ρ 1 ,         V 2 = τ ρ 2  

Com τ sendo a tensão na corda (constante). MAAAAAAASS precisamos antes, para resolver esse problema, estabelecer primeiros as condições de contorno. Estas serão dadas pela continuidade será dada pela função de onda a sua derivada nas extremidades x = 0 e x = L .

Bora lá?

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Obrigado por vir.

Para x = 0 , temos:

Ψ I x = 0 = Ψ I I x = 0

∂ Ψ I ∂ x ​ x = 0 = ∂ Ψ I I ∂ x ​ x = 0

Para x = L , temos:

Ψ I I x = 0 = Ψ I I I x = L

∂ Ψ I I ∂ x ​ x = L = ∂ Ψ I I ∂ x ​ x = 0

Pelas condições iniciais e as funções de onda, obtemos:

A + B = C + D                   s i s t e m a   2

- A + B = k 2 k 1   - C + D

E:

C   e - i k 2 L + D e i k 2 L = E e - i k 1 L                             s i s t e m a   3

- C e - i k 2 L + D e i k 2 L = - k 1 k 2 E   e - i k 1 L

De forma que obtemos do sistema 3:

C = 1 2 1 + k 1 k 2 E   e i k 2 - k 1 L

D = 1 2 1 - k 1 k 2 E   e - i k 2 + k 1 L

Assim:

C = k 2 + k 1 k 2 - k 1     e i 2 k 2 L   D

Do sistema 2, obtemos:

A = 1 2 1 + k 2 k 1 C + 1 2 1 - k 2 k 1 D

De C e D que obtemos:

A = 1 2 k 1 k 2 + k 1 2 k 2 - k 1     e i 2 k 2 L - k 2 - k 1 D  

Da mesma forma:

B = 1 2 k 1 - k 2 + k 1 e i 2 k 2 L + k 1 + k 2 D  

De A e B determinados:

B A = k 1 2 - k 2 2 e i 2 k 2 L - 1 k 1 + k 2 2 e i 2 k 2 L - k 1 - k 2 2

E já tendo C e D, obtemos do sistema 3:

E = 2 k 2 D k 2 - k 1   e i k 2 + k 1 L

E A = 4 k 1 k 2 e i k 1 + k 2 L k 1 + k 2 2 e i 2 k 2 L - k 1 - k 2 2

E com todos já bem definidos podemos trabalhar.

Passo 3

Desde que a intensidade incidente I 0 seja proporcional a A 2 , e a intensidade refletida é I r = B 2 , e a intensidade transmitida total I t = E 2 ,podemos fazer:

I r = I 0   B 2 A 2 ,           I t = I 0 E 2 A 2

Substituindo B e A:

I r = I 0 k 1 2 - k 2 2 e i 2 k 2 L - 1 k 1 + k 2 2 e i 2 k 2 L - k 1 - k 2 2 2 =

I r = I 0 k 1 2 - k 2 2 1 - cos ⁡ 2 k 2 L k 1 4 + k 2 4 + 6 k 1 2 k 2 2 - k 1 2 - k 2 2 2 cos ⁡ 2 k 2 L

E a intensidade transmitida total:

I t = I 0 4 k 1 k 2 e i k 1 + k 2 L k 1 + k 2 2 e i 2 k 2 L - k 1 - k 2 2 2

Assim:

I t = I 0   8 k 1 2 k 2 2 k 1 4 + k 2 4 + 6 k 1 2 k 2 2 - 2 k 1 2 - k 2 2 2 cos ⁡ 2 k 2 L

Para uma transmissão máxima precisamos de uma reflexão máxima, ou seja:

I t = I 0

I r = 0

Se I r = 0 , então:

1 - cos ⁡ 2 k 2 L = 0

L = m π k 2 = m π ω τ ρ 2 ,           m = 0,1 , 2,3 , …  

Resposta

A intensidade refletida:

I r = I 0 k 1 2 - k 2 2 1 - cos ⁡ 2 k 2 L k 1 4 + k 2 4 + 6 k 1 2 k 2 2 - k 1 2 - k 2 2 2 cos ⁡ 2 k 2 L

A intensidade transmitida total:

I t = I 0   8 k 1 2 k 2 2 k 1 4 + k 2 4 + 6 k 1 2 k 2 2 - 2 k 1 2 - k 2 2 2 cos ⁡ 2 k 2 L

Onde I r + I t = I 0