Considere a função de onda simplificada:

Ψ x , t = A e i ω t - k x

Considere que ω e v são quantidades complexas e que k é real:

ω = α + i β

v = u + i w

Mostre que a onda é amortecida em tempo. Utilize o fato de que k 2 = ω 2 v 2 para obter expressões para α e β nos termos de u e w . Encontre a velocidade de fase para este caso

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba??

Abrindo a equação dada e usando as equações dadas temos:

Ψ x , t = A e i α t + i β t - k x = A e α t - k x e - β t

E a parte real é:

Ψ x , t = A e - β t cos ⁡ α t - k x

E a equação é amortecido com o termo em β

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Obrigado por vir.

Da relação dada:

k 2 = ω 2 v 2

Temos:

α + i β 2 = k 2 u + i w 2

Deste modo, temos que:

α = k 2 u w β

E:

β = k w i k u

Desde que β seja real, somente a primeira nos importa, ou seja, β = k w e α = u k .

Assim, a velocidade de fase é:

V = R e ω k = α k → V = u

Resposta

A velocidade de fase é:

V = α k = u

E a demonstração se encontra no passo-a-passo.