Considere a função periódica:

F t = sin ⁡ ω t ,                       0 < t < π / ω 0                           ,           π / ω < t < 2 π / ω

que representa as porções positivas de uma função seno. (Esse tipo de função representa, por exemplo, a saída de um circuito retificador de meia onda.) Determine a representação de Fourier e elabore o gráfico da soma dos primeiros quatro termos.

Passo 1

Faala meu povo, bora com tudo pra mais uma questão do nosso livro!

Primeiramente temos que os dados fornecidos pelo enunciado em relação a função periódica, sendo:

F t = sin ⁡ ω t ,                       0 < t < π / ω 0                           ,           π / ω < t < 2 π / ω

Note que F ( t ) é uma função periódica com um período τ = 2 π / ω . Onde F t + τ = F ( t ) .

Assim podemos definir a função sendo:

F t = 1 2 a 0 + ∑ n = 1 ∞ a 0 cos ⁡ n w t + b n sin ⁡ n w t

Portanto, podemos recordar a equação 3:91 do nosso livro e assim tenhamos:

a n = 2 τ ∫ 0 τ f ' t cos ⁡ ( n ω t ' ) d t '

b n = 2 τ ∫ 0 τ f ' t sin ⁡ ( n ω t ' ) d t '

Assim:

a n = ω π ∫ 0 π / ω s in ⁡ ( ω t ' ) cos ⁡ ( n ω t ' ) d t '

Por substituição em n = 0 e em n = 1 , teremos:

a n = ω π ∫ 0 π / ω sin ⁡ ( ω t ' ) d t ' = 2 π

a 1 = ω π ∫ 0 π / ω sin ⁡ ( ω t ' ) cos ⁡ ( ω t ' ) d t ' = 0

b 0 = 0

b 1 = ω π ∫ 0 π / ω sin 2 ⁡ ( ω t ' ) d t ' = 1 2

O que nos leva a fórmula geral dos coeficientes para:

n ≥ 2

a n = ω π ∫ 0 π / ω sin ⁡ ( ω t ' ) cos ⁡ ( n ω t ' ) d t ' = - 1 2 π cos ⁡ 1 - n ω t ' 1 - n + cos ⁡ 1 + n ω t ' 1 + n π / ω 0

Assim:

F t = 2 π 1 - n 2       ,                 s e   n   n ã o   f o r   p a r 0                                         ,                 s e   n   n ã o   f o r   p a r

b n = ω π ∫ 0 π / ω sin ⁡ ( ω t ' ) sin ⁡ ( n ω t ' ) d t ' = - 1 2 π cos ⁡ 1 - n ω t ' 1 - n + cos ⁡ 1 + n ω t ' 1 + n π / ω 0 = 0

Portanto a função F ( t ) torna-se:

F t = 1 π + 1 2 sin 2 ⁡ ( ω t ) + ∑ n = 2,4 , 6 … ∞ 2 π 1 - n 2 cos ⁡ n ω t

Com gráfico representado abaixo:

Resposta

F t = 1 π + 1 2 sin 2 ⁡ ( ω t ) + ∑ n = 2,4 , 6 … ∞ 2 π 1 - n 2 cos ⁡ n ω t