Considere uma linha de transmissão elétrica que possui indutância uniforme por comprimento unitário L e uma capacitância uniforme por comprimento unitário C. Mostre que uma corrente alternada I em tal linha obedece a equação de onda:

∂ 2 I ∂ x 2 - L C ∂ 2 I ∂ t 2 = 0

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba??

Considere o circuito na figura acima. Para o circuito no n-ésimo indutor I n e uma voltage que não foi perdida nos circuitos anteriores, temos:

V n = Q n C '

E:

L ' d I n d t = V n - 1 - V n = Q n - 1 C ' - Q n C '

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Obrigado por vir.

Sabemos também que:

d Q n d t = I n - I n + 1

Diferenciando com respeito ao tempo:

L ' d 2 I n d t 2 = 1 C ' I n - 1 - 2 I n + I n + 1  

Que é igual à:

d 2 I n d t 2 = 1 L ' C ' I n - 1 - 2 I n + I n + 1  

Passo 3

Definamos um parâmetro x o qual cresce em Δ x ao ir de um loop para o outro, de forma que:

L ≡ L ' Δ x ;         C ≡ C ' Δ x

Com Δ x → 0

E ainda:

Δ I n = I n + 1 - I n

Assim:

d 2 I n d t 2 + 1 L ' C ' Δ I n - 1 - Δ I n = 0

Ou:

d 2 I n d t 2 - Δ Δ I n L ' C ' = 0

Dividindo por Δ x 2 e multiplicando por - L ' C ' temos:

Δ Δ I n Δ x 2 - L C   d 2 I n d t 2 = 0

E por virtude das definições de x que demos acima, podemos fazer:

I n t = I x , t

Assim:

Δ Δ I x , t Δ x 2 - L C   d 2 I x , t d t 2 = 0

Para Δ x → 0 , finalmente temos:

∂ 2 I x , t ∂ x 2 - L C ∂ 2 I x , t ∂ t 2 = 0

Comparando com a equação de onda:

∂ 2 y ∂ x 2 - 1 v 2 ∂ 2 y ∂ t 2 = 0

Constatamos que:

v 2 = 1 L C → v = 1 L C

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)