Considere o movimento livre de um pêndulo plano cuja amplitude não é pequena. Mostre que o componente horizontal do movimento pode ser representado pela expressão aproximada (componentes pela terceira ordem estão incluídos).

x ¨ + ω 0 2 1 + x 2 l 2 x - ϵ x 3 = 0

Onde ω 0 2 = g l ,     ϵ = 3 g / 2 l 3 , com l igual ao comprimento da suspensão.

Passo 1

Vamos iniciar o problema colocando pra jogo a equação do movimento do pêndulo plano?

θ ¨ = - ω 0 2 sin ⁡ θ                     E q . 1  

Onde ω 0 2 = g / l e a componente horizontal do movimento pode ser descrita por:

sin ⁡ θ = y ≡ x l

Passo 2

Que derivando em relação ao tempo até a segunda ordem, dá:

θ ¨ = y y ˙ 2 1 - y 2 3 2 + y ¨ 1 - y 2

Agora, vamos escrever a equação da conservação da energia para o sistema:

1 2 m l 2 θ ˙ 2 - m g l cos ⁡ θ = - m g l cos ⁡ θ 0

Onde θ 0 é o ângulo máximo que o pêndulo faz e serve como um parâmetro conveniente para descrevermos a energia total do sistema.

Agora, podemos escrever em função de y da forma como definimos acima:

y ˙ 2 1 - y 2 = 2 ω 0 2 1 - y 2 - 1 - y 0 2

Passo 3

Unidos as equações acima, e substituindo na equação de movimento do sistema Eq.1

Chegamos em:

y ¨ + ω 0 2 y 3 1 - y 2 - 2 1 - y 0 2   = 0

Se usarmos agora a expansão binomial para aproximar a função dada, chegamos em:

x ¨ + ω 0 2 x 1 + x 0 2 l 2 - 3 g 2 l 3 x 3 = 0

c.q.d.

Resposta

DEMONSTRAÇÃO