Considere o movimento livre de um pêndulo plano cuja amplitude não é pequena. Mostre que o componente horizontal do movimento pode ser representado pela expressão aproximada (componentes pela terceira ordem estão incluídos).
Onde , com igual ao comprimento da suspensão.
Passo 1
Vamos iniciar o problema colocando pra jogo a equação do movimento do pêndulo plano?
Onde e a componente horizontal do movimento pode ser descrita por:
Passo 2
Que derivando em relação ao tempo até a segunda ordem, dá:
Agora, vamos escrever a equação da conservação da energia para o sistema:
Onde é o ângulo máximo que o pêndulo faz e serve como um parâmetro conveniente para descrevermos a energia total do sistema.
Agora, podemos escrever em função de da forma como definimos acima:
Passo 3
Unidos as equações acima, e substituindo na equação de movimento do sistema Eq.1
Chegamos em:
Se usarmos agora a expansão binomial para aproximar a função dada, chegamos em:
c.q.d.
Resposta
DEMONSTRAÇÃO