Considere um oscilador harmônico amortecido. Após quatro ciclos, a amplitude do oscilador caiu para 1 / e de seu valor inicial. Determine a relação entre a frequência do oscilador amortecido e sua frequência natural.

Passo 1

E aí minha gente, bora com tudo pra mais uma questão do nosso livro!

Para um oscilador amortecido, temos 3 casos, tanto amortecimento excessivo, amortecimento insuficiente ou amortecimento crítico.

Mas dado que após 4 ciclos a amplitude cai para 1 / e de seu valor, então deve estar sob amortecimento

Portanto, a equação que descreve este caso é dada na equação 3:40 do nosso livro.

x t = A e - β t cos ⁡ ( ω 1 - δ )

Por substituição em t = 4 τ nós temos A 1 = A / e

Por substituição novamente τ = 2 π / ω 1

Assim:

x 4 τ = A e - 8 π β ω 1 cos ⁡ ( 8 π - δ )

Como a amplitude cai para 1 / e de seu valor, temos:

A e - 8 π β ω 1 = A e

Assim β = ω 1 /   8 π

Lembrando que β = ω 0 2 - ω 1 2 , temos então:

ω 1 8 π = ω 0 2 - ω 1 2

Portanto, a razão entre a frequência do oscilador amortecido e sua frequência natural é:

ω 1 ω 0 = 8 π 64 π 2 + 1

Finalizamos aqui nossa questão, tudo beleza? Te vejo na próxima!

Resposta

ω 1 ω 0 = 8 π 64 π 2 + 1