Considere um oscilador harmônico relativístico unidimensional para o qual a lagrangiana é

Obtenha a equação de movimento de Lagrange e mostre que ela pode ser integrada para produzir

onde a é a amplitude máxima a partir do equilíbrio da partícula oscilante. Mostre que o período

pode ser expresso como

Amplie o integrando em potências de

e mostre que, para a primeira ordem em k

onde τ 0 é o período não relativístico para pequenas oscilações, 2 π m / k .

Passo 1

Fala galera, beleza? Dessa vez vamos começar com a Lagrangiana:

Daí calculamos:

Assim a expressão Lagrangiana do movimento é:

Passo 2

De onde:

Usando a relação:

Podemos reescrever as equações acima:

Que pode ser integrada, resultando em:

Onde E é a constante de integração.

Passo 3

Pega essa visão, o valor de E é calculado para algum ponto particular no espaço de fase, sendo o mais fácil, acredite em mim, é o mais fácil de verdade rsrsr, x = a ; β = 0 :

Das equações acima temos:

Onde podemos eliminar β ² :

E, portanto:

Passo 4

E aí miguxos e miguxas, o período será quatro vezes a integral de d t = d t ( x ) de x = 0 até x = a

Como x varia entre 0 e a, a variável x/a assume valores no intervalo de 0 a 1 e, portanto, podemos definir

De onde temos:

E assim podemos definir o parâmetro adimensional:

E assim podemos chegar na integral:

Passo 5

É muito cálculo né? Mas me abandona não, vem comigo, vem... Que já estamos vendo a luz no fim do túnel 😊.

Como k a 2 m c 2 ≪ 1 para o caso fracamente relativista, podemos expandir o integrando da equação anterior em uma série de potencias de k:

Substituindo:

Resposta

Substituindo a expressão de k visto acima, obtemos:

Ou: