Considere um pacote de ondas no qual a distribuição da amplitude é fornecida por:

A k = 1 , k - k 0 < Δ k 0 , d e   o u t r a   f o r m a

Mostre que as funções de onda são:

Ψ x , t = 2 e i ω 0 t - k 0 x ω 0 ' t - x sin ⁡ ω 0 ' t - x Δ k  

Esboce a forma do pacote de ondas (escolha t=0 por simplicidade).

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba??

Para a sobreposição de n ondas, temos a equação 13.111b:

Ψ x , t = ∫ - ∞ + ∞ A k   e i ω t - k x d k                                     ( 0,1 )

E seguindo na equação 12.112 temos, considerando que A ( k ) não desaparece na vizinhança de k = k 0 , temos:

Ψ x , t = ∫ k 0 - Δ k k 0 + Δ k e i ω t - k x d k                                     ( 0 , 2 )

Que é chamada de função de pacote de onda.

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Obrigado por vir.

Para o caso do pacote de onda representado pela Equação 13.112, as frequências contribuintes são restritas àquelas que estão próximas a ω ( k ) . Assim, podemos expandir em torno de k = k 0 , assim:

ω k = ω k 0 + d ω d l k = k 0 k - k 0 + … = ω 0 + ω 0 ' k - k 0

Assim, da equação (0.2), temos:

Ψ x , t = e i ω 0 - ω 0 ' k 0 t ∫ k 0 - Δ k k 0 + Δ k e i ω 0 ' t - x k d k

Realizando a integração, temos:

Ψ x , t = e i ω 0 - ω 0 ' k 0 t e i k 0 + Δ k ω 0 ' t - x - e i k 0 - Δ k ω 0 ' t - x i ω 0 ' t - x = 2 e i ω 0 - ω 0 ' k 0 t ω 0 ' t - x e i Δ k ω 0 ' t - x - e - i Δ k ω 0 ' t - x 2 i

Lembra desta equação aqui:

e i θ - e - i θ = 2 i sin ⁡ θ → sin ⁡ θ = e i θ - e - i θ 2 i

Assim, podemos fazer:

Ψ x , t = 2 e i ω 0 t - k 0 x ω 0 ' t - x sin ⁡ ω 0 ' t - x Δ k  

E a parte real da função em t = 0 é:

R e Ψ x , 0 = 2 sin ⁡ x Δ k x cos ⁡ k 0 x

Passo 3

Se Δ k ≪ k 0 , o termo do cosseno vai decair por varias oscilações em um período. O gráfico é:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)