Considere um pacote de ondas com uma distribuição de amplitude de Gausiano:
Onde é igual a 1/e largura do pacote. Utilizando essa função para A(k), mostre que:
Esboce a forma desse pacote de ondas. Depois, expanda ) em uma série de Taylor, retenha os primeiros dois termos e integre a equação do pacote de ondas para obter o resultado geral:
Por fim, tome um termo adicional na expressão da série de Taylor de e mostre que o é agora substituído por uma quantidade complexa. Encontre a expressão para a largura 1/e do pacote como uma função de tempo para este caso e mostre que o pacote se move contra a mesma velocidade de grupo que antes, mas aumenta em largura conforme se move. Esboce este resultado.
Passo 1
Faaaaaala, galera... Tranquileba??
Bora lá que essa questão é grande, consistindo de 3 partes. Assim:
Para a)
É provarmos a primeira equação pedida.
Usando a equação 13.111b:
Com t=0
Substituindo :
Façamos
Essa integral pode ser calculada completando o quadrado no expoente
Fazendo
A resolução dessa integral nós temos nos apêndices dos livros, que é:
Portanto, ao final temos:
A forma de (o pacote de onda) é uma gaussiana como a descrita abaixo.

Bora pro próximo passo?!
Passo 2
Obrigado por vir.
Para b)
Agora vamos expandir para usando a equação em 13.113 a
E então:
Substituindo :
Usando a mesma integração que antes:
Passo 3
Para c)
Relacionando com o termo de segundo ordem da expansão de Taylor de , temos:
Assim:
Substituindo :
Note que se fizermos ,a equação se torna como aquela que resolvemos no item b, lembra?
Portanto:
Onde:
A largura de 1/e do pacote de onda vai ser agora
Veja que o pacote de onda se propaga com velocidade , mas se espalha como uma função do tempo, como mostra a figura

Resposta
A resolução em detalhe está no passo-a-passo.