Considere um pacote de ondas com uma distribuição de amplitude de Gausiano:

A k = B exp ⁡ - σ k - k 0 2

Onde 2 σ é igual a 1/e largura do pacote. Utilizando essa função para A(k), mostre que:

Ψ x , 0 = B ∫ - ∞ + ∞ exp ⁡ - σ k - k 0 2 exp ⁡ - i k x d k = B π σ exp ⁡ - x 2 4 σ   exp ⁡ - i k 0 x

Esboce a forma desse pacote de ondas. Depois, expanda ω k ) em uma série de Taylor, retenha os primeiros dois termos e integre a equação do pacote de ondas para obter o resultado geral:

Ψ x , t = B π σ exp ⁡ - ω 0 ' t - x 2 4 σ   exp ⁡ i ω 0 t - k 0 x

Por fim, tome um termo adicional na expressão da série de Taylor de ω ( k ) e mostre que o é agora substituído por uma quantidade complexa. Encontre a expressão para a largura 1/e do pacote como uma função de tempo para este caso e mostre que o pacote se move contra a mesma velocidade de grupo que antes, mas aumenta em largura conforme se move. Esboce este resultado.

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba??

Bora lá que essa questão é grande, consistindo de 3 partes. Assim:

Para a)

É provarmos a primeira equação pedida.

Usando a equação 13.111b:

Ψ x , t = ∫ - ∞ + ∞ A k e i ω t - k x d k

Com t=0

Ψ x , 0 = ∫ - ∞ + ∞ A k e - i k x d k

Substituindo A ( k ) :

Ψ x , 0 = B ∫ - ∞ + ∞ e - σ k - k 0 2 e - i k x   d k

Ψ x , 0 = B e - i k 0 x ∫ - ∞ + ∞ e - σ k - k 0 2 e - i k - k 0 x   d k

Façamos k - k 0 = u

Ψ x , 0 = B e 0 - i k 0 x ∫ - ∞ + ∞ e - σ u 2 e - i u x   d u

Essa integral pode ser calculada completando o quadrado no expoente

∫ - ∞ + ∞ e - a x 2     e b x   d x = ∫ - ∞ + ∞ e - a x 2 - b a x d x

= ∫ - ∞ + ∞ e - a x 2 - b a x + b 2 4 a 2 e b 2 4 a   d x

= e b 2 4 a   ∫ - ∞ + ∞ e - a x - b 2 a 2 d x

Fazendo y = x - b a

∫ - ∞ + ∞ e - a x 2   e b x d x = e b 2 4 a ∫ - ∞ + ∞ e - a y 2 d y

A resolução dessa integral nós temos nos apêndices dos livros, que é:

∫ - ∞ + ∞ e - a x 2   e b x d x = π a   e b 2 4 a

Portanto, ao final temos:

Ψ x , 0 = B   π σ   e 0 - i k 0 x e - x 2 4 σ

A forma de Ψ x , 0 (o pacote de onda) é uma gaussiana como a descrita abaixo.

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Obrigado por vir.

Para b)

Agora vamos expandir para ω k usando a equação em 13.113 a

ω k = ω 0 + ω 0 ' k - k 0 + …  

E então:

Ψ x , t = ∫ - ∞ + ∞ A k   e i ω t - k x d k → ∫ - ∞ + ∞ A k e i ω 0 t + ω 0 ' k - k 0 t - k x   d k

Substituindo A k :

= B e i ω 0 t - k 0 x ∫ - ∞ + ∞ e - σ k - k 0 2 e i ω 0 ' k - k 0 t - k - k 0 x d k

= B e i ω 0 t - k 0 x ∫ - ∞ + ∞ e - σ u 2 e i ω 0 ' t - x u   d u

Usando a mesma integração que antes:

Ψ x , t = b π σ   e i ω 0 t - k 0 x   e - ω 0 ' t - x 2 4 σ

Passo 3

Para c)

Relacionando com o termo de segundo ordem da expansão de Taylor de ω k , temos:

ω k = ω 0 + ω 0 '   k - k 0 + 1 2 ω 0 ' ' k - k 0 2 + …

Assim:

Ψ x , t = e i ω 0 t - k 0 x   ∫ - ∞ + ∞ A k   e i ω 0 ' k - k 0 t + 1 2 ω 0 ' k - k 0 2 t - k - k 0 x d k

Substituindo A ( k ) :

= B e i ω 0 t - k 0 x ∫ - ∞ + ∞ e - σ - i ω 0 ' ' t 2 u 2 e i ω 0 ' t - x u     d u

Note que se fizermos σ - i ω 0 ' ' t 2 → σ ,a equação se torna como aquela que resolvemos no item b, lembra?

Portanto:

Ψ x , t = B 2 π 2 σ - i ω 0 ' ' t   i i ω 0 t - k 0 x   e - α x , t

Onde:

α x , t = ω 0 ' t - x 2 σ + 1 2 i ω 0 ' t 4 σ 2 + ω 0 ' ' 2 t 2

A largura de 1/e do pacote de onda vai ser agora

ω 1 e t = 2 4 σ 2 + ω 0 ' ' 2 t 2 σ =

W 1 e t = 4 σ   1 + ω 0 ' t 2 σ 2

Veja que o pacote de onda se propaga com velocidade ω 0 ' , mas se espalha como uma função do tempo, como mostra a figura

Resposta

A resolução em detalhe está no passo-a-passo.