Considere uma partícula de massa m que se rnove livremente em um campo de força conservador cuja função potencial é U. Encontre a função de Hamilton e demonstre que as equações canônicas de movimento se reduzem a equações newtonianas. (Utilize coordenadas retangulares.)

Passo 1

Fala, galerinha. Estamos aqui pra mais um exercício, mas calma que vou te ajudar nessa.

Primeiro precisamos achar as equações de movimento de Hamilton e para isso, precisamos encontrar a lagrangiana do sistema e os momentos conjugados, pra depois achar as equações de movimento a partir disso. Então vamos resolver.

Passo 2

A Lagragiana em coordenadas retangulares se escreve como

L = 1 2 m x ˙ 2 + 1 2 m y ˙ 2 + 1 2 m z ˙ 2 - U

Como a Hamiltoniana se escreve como

H = ∑ i p i q ˙ i - L

Sendo i = 1 ,   2 ,   3 equivalendo a x , y e z respectivamente.

Para o momento temos

p x = ∂ L ∂ x ˙ = m x ˙

p y = ∂ L ∂ y ˙ = m y ˙

p z = ∂ L ∂ z ˙ = m z ˙

Substituindo na Hamiltoniana para obtermos sua forma

H = p x x ˙ + p y y ˙ + p z z ˙ - L

H = m x ˙ ⋅ x ˙ + m y ˙ ⋅ y ˙ + m z ˙ ⋅ z ˙ - 1 2 m x ˙ 2 - 1 2 m y ˙ 2 - 1 2 m z ˙ 2 + U

H = m x ˙ 2 - 1 2 m x ˙ 2 + m y ˙ 2 - 1 2 m y ˙ 2 + m z ˙ 2 - 1 2 m z ˙ 2 + U

H = 1 2 m x ˙ 2 + 1 2 m y ˙ 2 + 1 2 m z ˙ 2 + U

Substituindo a forma do momento dividido por m , temos a expressão da hamiltoniana em função dos momentos.

H = p x 2 2 m + p y 2 2 m + p z 2 2 m + U

As equações de movimento na formulação hamiltoniana são

p ˙ x = - ∂ H ∂ x = - ∂ U ∂ x = F x

p ˙ y = - ∂ H ∂ y = - ∂ U ∂ y = F y

p ˙ z = - ∂ H ∂ z = - ∂ U ∂ z = F z

Onde usamos o fato de que o único termo que depende das coordenadas da posição são os termos da energia potencial. Se observar, a equação de movimento com o momento são exatamente as equações de Newton.

Resposta

F x = p ˙ x

F y = p ˙ y

F z = p ˙ z

Mais um problema feito. Bora pra mais um?