Considere uma partícula de massa m com movimento restrito à superfície de uma Paraboloide cuja equação (em coordenadas cilíndricas) é . Se a partícula estiver sujeita a uma força gravitacional, demonstre que a frequência de oscilações pequenas sobre uma órbita circular com raio é:
Passo 1
Faaaaaala, galera... Tranquileba??
Tire a sandália dos seus pés, que vamos para uma linda demonstração do princípio lagrangiano com a resolução de uma EDO.
Assim, vamos lá!
Dito que , temos , assim:
Da equação lagrangiana, obtemos a equação lagrangiana do movimento para , que é:
O que demonstra que o momento angular é constante
E para a equação do movimento para :
Vamos rearranjar? Temos: (Sabendo que )
Para uma orbita circular, temos , pois . De modo que:
Bora pro próximo passo?!
Passo 2
Obrigado por vir.
Se aplicarmos uma perturbação na orbita circular, podemos fazer:
De onde temos:
Portanto:
Mas:
Assim:
Passo 3
Já conhecemos esse tipo de Equação diferencial né?! Geralmente ela tem esse formato:
Onde é a frequência de oscilações, assim:
Façamos , assim:
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)