Considere uma partícula de massa m com movimento restrito à superfície de uma Paraboloide cuja equação (em coordenadas cilíndricas) é r 2 = 4 a z . Se a partícula estiver sujeita a uma força gravitacional, demonstre que a frequência de oscilações pequenas sobre uma órbita circular com raio ρ = 4 a z é:

ω = 2 g a + z 0

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba??

Tire a sandália dos seus pés, que vamos para uma linda demonstração do princípio lagrangiano com a resolução de uma EDO.

Assim, vamos lá!

L = T - U = 1 2 m r ' 2 + r 2 θ ' 2 + z ' 2 - m g z

Dito que r 2 = 4 a z , temos z ' = r r ' 2 a , assim:

L = 1 2 m 1 + r 2 4 a 2 r ' 2 + r 2 θ ' 2 - m g 4 a   r 2

Da equação lagrangiana, obtemos a equação lagrangiana do movimento para θ , que é:

∂ L ∂ θ - d d t ∂ L ∂ θ ' = 0

0 - d d t ∂ L ∂ θ ' = - d d t m r 2 θ ' = 0

O que demonstra que o momento angular é constante

E para a equação do movimento para r :

∂ L ∂ r - d d t ∂ L ∂ r ' = 0

m 4 a 2 r r ' 2 + m r θ ' 2 - m g 2 a r - d d t m 1 + r 2 4 a 2 r ' = 0

m 4 a 2 r r ' 2 + m r θ ' 2 - m g 2 a r - m 1 + r 2 4 a 2 r ' ' - m 2 a r r ' 2 = 0

Vamos rearranjar? Temos: (Sabendo que l = m r 2 θ ' )

m 1 + r 2 4 a 2 r ' ' + m 4 a 2 r r ' 2 + m g 2 a r - l 2 m 1 r 3 = 0

Para uma orbita circular, temos r ' = r ' ' = 0 , pois r = ρ = c o n s t a n t e . De modo que:

m g ρ 2 a = l 2 m ρ 3 → l 2 = m 2 g 2 a   ρ 4

m 2 ρ 4 θ ' 2 = m 2 g 2 a   ρ 4 → θ ' 2 = g 2 a

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Obrigado por vir.

Se aplicarmos uma perturbação na orbita circular, podemos fazer:

r → ρ + x                   x ρ ≪ 1

r 2 → ρ 2 + x 2

1 r 3 = 1 - 3 x ρ ρ 3

r ' → x '

r ' ' → x ' '

De onde temos:

r r ' 2 → ρ + x x ' 2 = 0         e m   u m   g r a u   m e n o r

r 2 r ' ' → ρ 2 + 2 ρ x x ' ' = ρ 2 x ' '     a i n d a   e m   g r a u   m e n o r

Portanto:

m 1 + 1 4 a 2 ρ 2 x ' ' + m g 2 a ρ + x - l 2 m ρ 3 1 - 3 x ρ = 0

Mas:

m g ρ 2 a = l 2 m ρ 3

Assim:

m 1 + 1 4 a 2 ρ 2 x ' ' + m g 2 a x + 3 l 2 m ρ 4 x = 0

m 1 + 1 4 a 2 ρ 2 x ' ' + 2 m g a   x = 0

x ' ' + 2 g a + ρ 2 4 a     x = 0

Passo 3

Já conhecemos esse tipo de Equação diferencial né?! Geralmente ela tem esse formato:

x ' ' + ω 2 x = 0

Onde ω é a frequência de oscilações, assim:

ω 2 = 2 g a + ρ 2 4 a → ω = 2 g a + ρ 2 4 a

Façamos z 0 = ρ 2 4 a , assim:

= 2 g a + z 0

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)