Considere uma partícula se movendo em um potencial U ( r ) . Reescreva a lagrangiana em termos de um sistema de coordenadas em rotação uniforme em relação a um sistema de referência inercial. Calcule a hamiltoniana e determine se H = E . H é uma constante do movimento? Se E não é uma constante de movimento, qual é o motivo? A expressão da hamiltoniana assim obtida é a fórmula padráo 1 2 m r 2 +   U mais um termo adicional. Demonstre que o termo extra é a energia potencial centrífuga. Use a lagrangiana obtida para reproduzir as equações de movimento fornecidas na Equação 10.25 (sem o segundo e o terceiro termos).

Passo 1

Fala, galerinha. Estamos aqui pra mais um exercício, mas calma que vou te ajudar nessa.

Nesse exercício temos que reescrever a lagrangiana nesse sistema e depois obter as equações de movimento, vendo se a energia é uma constante de movimento e vendo se essa lagrangiana reproduz as equações de movimento dadas nessas equações que ele falou, sem alguns termos. Então vamos aos cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a Lagragiana no sistema fixo, que é

L = 1 2 m v f 2 - U r f

Em um sistema de rotação uniforme em relação a esse sistema, temos que a velocidade vai ser

v f = v r + ω × r r

Substituindo na nossa lagrangiana, temos

L = m 2 v r 2 + 2 ⋅ v r ⋅ ω × r r + ω × r r 2 - U r

Agora, a partir dessa lagrangiana, calculamos o momento canônico, que dá

p r = ∂ L ∂ v r = m v r + m ω × r r

Escrevendo a Hamiltoniana, temos

H = v r ⋅ p r - L = 1 2 m v r 2 - U r r - 1 2 m ( ω × r r )

Como a Lagrangiana não tem nenhum termo que depende do tempo, temos que H é uma constante de movimento, mas H ≠ E porque as equações de transformação de coordenadas dependem do tempo.

Passo 3

Podemos identificar

U = - 1 2 m ω × r r 2

Como a energia potencial centrifuga. Usando algumas identidades vetoriais, temos

- ∇ U = m 2 ∇ ω 2 r r 2 - ω ⋅ r r 2

- ∇ U = m ω 2 r r - ω ⋅ r r ω

- ∇ U = m ω × ( ω ⋅ r r )

Calculando as equações de Lagrange e obtendo a equação de movimento, temos

m a r = - ∇ U - m ω × ( ω ⋅ r r ) - 2 m ( ω × v r )

O que sem os dois termos finais, nos dá as equações de movimento que queremos.

Resposta

Mais um problema feito. Bora pra mais um?