Considere uma partícula se movendo em um potencial . Reescreva a lagrangiana em termos de um sistema de coordenadas em rotação uniforme em relação a um sistema de referência inercial. Calcule a hamiltoniana e determine se . é uma constante do movimento? Se não é uma constante de movimento, qual é o motivo? A expressão da hamiltoniana assim obtida é a fórmula padráo mais um termo adicional. Demonstre que o termo extra é a energia potencial centrífuga. Use a lagrangiana obtida para reproduzir as equações de movimento fornecidas na Equação 10.25 (sem o segundo e o terceiro termos).
Passo 1
Fala, galerinha. Estamos aqui pra mais um exercício, mas calma que vou te ajudar nessa.
Nesse exercício temos que reescrever a lagrangiana nesse sistema e depois obter as equações de movimento, vendo se a energia é uma constante de movimento e vendo se essa lagrangiana reproduz as equações de movimento dadas nessas equações que ele falou, sem alguns termos. Então vamos aos cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a Lagragiana no sistema fixo, que é
Em um sistema de rotação uniforme em relação a esse sistema, temos que a velocidade vai ser
Substituindo na nossa lagrangiana, temos
Agora, a partir dessa lagrangiana, calculamos o momento canônico, que dá
Escrevendo a Hamiltoniana, temos
Como a Lagrangiana não tem nenhum termo que depende do tempo, temos que é uma constante de movimento, mas porque as equações de transformação de coordenadas dependem do tempo.
Passo 3
Podemos identificar
Como a energia potencial centrifuga. Usando algumas identidades vetoriais, temos
Calculando as equações de Lagrange e obtendo a equação de movimento, temos
O que sem os dois termos finais, nos dá as equações de movimento que queremos.
Resposta
Mais um problema feito. Bora pra mais um?