Considere o pêndulo descrito no Problema 7.15. O ponto de suporte do pêndulo se ergue verticalmente com aceleração constante a. (a) Utilize o método de Lagrange para encontrar as equações de movimento. (b) Determine a hamiltoniana e as equações de movimento de Hamilton. (c) Qual é o período para pequenas oscilaçóes?

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba??

Um esboço do que o enunciado nos diz:

Onde, façamos b → a mola não-estendida; l → extensão da mola;

Para a)

Temos que:

x = l sin ⁡ θ

x ' = l ' sin ⁡ θ + l θ ' cos ⁡ θ

y = 1 2 a t 2 - l cos ⁡ θ

y ' = a t - l ' cos ⁡ θ + l sin ⁡ θ

Assim, a lagrangiana é:

L = T - U = 1 2 m x ' 2 + y ' 2 - m g y - 1 2 k l - b 2

L = 1 2 m l ' 2 + l 2 θ ' 2 + a 2 t 2 + 2 a t l θ ' sin ⁡ θ - l ' cos ⁡ θ + m g l cos ⁡ θ - a t 2 2 - k 2 l - b 2

E as equações de movimento são em respeito à θ e l :

d d t ∂ L ∂ θ ' = ∂ L ∂ θ d d t ∂ L ∂ l ' = ∂ L ∂ l

Assim as equações de movimento:

l ' ' - l θ ' 2 - a + g cos ⁡ θ + k m l - b = 0

θ ' ' + 2 l   l ' θ ' + a + g l sin ⁡ θ = 0

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Obrigado por vir.

Para b)

O momento canônico p l :

p l = ∂ L ∂ l ' = m l ' - m a t cos ⁡ θ → l ' = p l m + a t cos ⁡ θ

E para p θ :

p θ = ∂ L ∂ θ ' = m l 2 θ ' + m a t   l sin ⁡ θ → θ ' = p θ m l 2 - a t sin ⁡ θ l

Desde que essas equações não dependam do tempo, a energia total é a hamiltoniana! Assim:

H = T + U = p l 2 2 m + p θ 2 2 m l 2 - a t l   p θ sin ⁡ θ + a t p l cos ⁡ θ + 1 2 k l - b 2 + 1 2   m g a t 2 - m g l cos ⁡ θ

Assim, as equações de movimento hamiltonianas são:

p l ' = - ∂ H ∂ l = - a t l 2 p θ sin ⁡ θ - k l - b + m g   cos ⁡ θ + p θ 2 m l 3

p θ ' = - ∂ H ∂ θ = - a t l p θ cos ⁡ θ + a t p l   sin ⁡ θ - m g l sin ⁡ θ

Passo 3

Para c)

Para pequenas oscilações sin ⁡ θ = θ e cos ⁡ θ = 1 - θ 2 2 substituindo na lagrangiana:

l ' ' - l θ ' 2 - a + g 1 - θ 2 2 + k m l - b = 0

θ ' ' + 2 l l ' θ ' + a + g l θ - a t l ' θ l = 0

Para pequenas oscilações θ ≪ 1 , θ ' ≪ 1 , l ' ≪ 1

l ' ' + k m l = a + g + k m   b

θ ' ' + a + g l   θ = 0

Para θ , nós já conhecemos esse tipo de EDO, é do tipo:

x ' ' + ω x = 0

Assim:

ω = a + g l

Assim:

T = 2 π ω = 2 π l a + g

E para l :

l = l h o m e g e n e o + l p a r t i c u l a r = A cos ⁡ k m t + B sin ⁡ k m t + m k a + g + b

ω = k m

T = 2 π ω = 2 π   m k  

Resposta

Para a)

l ' ' - l θ ' 2 - a + g cos ⁡ θ + k m l - b = 0

θ ' ' + 2 l   l ' θ ' + a + g l sin ⁡ θ = 0

Para b)

p l ' = - ∂ H ∂ l = - a t l 2 p θ sin ⁡ θ - k l - b + m g   cos ⁡ θ + p θ 2 m l 3

p θ ' = - ∂ H ∂ θ = - a t l p θ cos ⁡ θ + a t p l   sin ⁡ θ - m g l sin ⁡ θ

Para c)

T θ = 2 π l a + g

T l = 2 π   m k