Considere o pêndulo descrito no Problema 7.15. O ponto de suporte do pêndulo se ergue verticalmente com aceleração constante a. (a) Utilize o método de Lagrange para encontrar as equações de movimento. (b) Determine a hamiltoniana e as equações de movimento de Hamilton. (c) Qual é o período para pequenas oscilaçóes?
Passo 1
Faaaaaala, galera... Tranquileba??
Um esboço do que o enunciado nos diz:

Onde, façamos a mola não-estendida; extensão da mola;
Para a)
Temos que:
Assim, a lagrangiana é:
E as equações de movimento são em respeito à e :
Assim as equações de movimento:
Bora pro próximo passo?!
Passo 2
Obrigado por vir.
Para b)
O momento canônico :
E para :
Desde que essas equações não dependam do tempo, a energia total é a hamiltoniana! Assim:
Assim, as equações de movimento hamiltonianas são:
Passo 3
Para c)
Para pequenas oscilações e substituindo na lagrangiana:
Para pequenas oscilações
Para nós já conhecemos esse tipo de EDO, é do tipo:
Assim:
Assim:
E para :
Resposta
Para a)
Para b)
Para c)