Considere um pêndulo plano simples que consiste de uma massa m conectada a um fio de comprimento l . Após o pêndulo ser colocado em movimento, o comprimento do fio é encurtado a uma taxa constante

d l d t = - α = c o n s t a n t e

O ponto de suspensão permanece fixo. Compute as funções de Lagrange e Hamilton. Compare a hamiltoniana e a energia total e discuta a conservação de energia para o sistema.

Passo 1

Fala, galerinha. Estamos aqui pra mais um exercício, mas calma que vou te ajudar nessa.

Primeiro precisamos da energia cinética e potencial. A cinética podemos escrever como a parte translacional, que vai depender do comprimento do fio e da parte rotacional, que vai depender do ângulo que o fio está. Segue a figura pra facilitar.

Passo 2

A parte da energia cinética translacional vai ser a parte que depende do comprimento de l , ficando

E t r a n s l = 1 2 m l ˙ 2

E a parte rotacional, que vai depender de l e θ , ficando

E r o t = 1 2 m l 2 θ ˙ 2

Juntando as duas, a energia cinética total vai ficar

T = 1 2 m l ˙ 2 + 1 2 m l 2 θ ˙ 2

Como o fio está diminuindo, temos que l ˙ = - α . Substituindo na equação da energia cinética, temos

T = 1 2 m α 2 + 1 2 m l 2 θ ˙ 2

Para a energia potencial temos

U = - m g l c o s θ

Assim a lagragiana fica na forma

L = 1 2 m α 2 + 1 2 m l 2 θ ˙ 2 + m g l c o s θ

Passo 3

Para a Hamiltoniana precisamos achar o momento conjugado. Já que o único termo que varia é o θ vamos calcular o momento em relação a ele.

p θ = ∂ L ∂ θ ˙ = m l 2 θ ˙

Por essa equação temos que

p θ 2 2 m l 2 = 1 2 m l 2 θ ˙ 2

Escrevendo a Hamiltoniana, temos

H = p θ θ ˙ - L

H = m l 2 θ ˙ 2 - 1 2 m α 2 - 1 2 m l 2 θ ˙ 2 - m g l c o s θ

H = 1 2 m l 2 θ ˙ 2 - 1 2 m α 2 - m g l c o s θ

Substituindo a forma do momento que achamos acima, ficamos com

H = p θ 2 2 m l 2 - 1 2 m α 2 - m g l c o s θ

Comparando com T + U , temos

T + U = 1 2 m α 2 + p θ 2 2 m l 2 - m g l c o s θ ≠ H

Resposta

Como a hamiltoniana é diferente da soma da energia potencial e cinética, a energia não é conservada no sistema.

Mais um problema feito. Bora pra mais um?