Considere uma placa fina homogênea de massa M que fica no plano x 1 -   x 2 com seu centro na origem. Deixe o comprimento da placa em 2A (na direção x 2 ) e a largura em 2B (na direção x 1 ). A placa é suspensa por um suporte fixo por quatro molas de constante de força iguais k nos quatro cantos da placa. A placa é livre para oscilar, mas com a restrição de que seu centro deve permanecer no eixo   x 3 . Assim, temos três graus de liberdade: (1) o movimento vertical, com o centro da placa se movendo ao longo do eixo x 3 ; (2) um movimento de inclinação perpendicular, com eixo x 1 , servindo como um eixo de rotação (escolha um ângulo θ para descrever o movimento); e (3) um movimento de inclinação lateral, com o eixo x 2 servindo como um eixo de rotação (escolha um ângulo ϕ para descrever o movimento). Assuma somente pequenas oscilações e mostre que a equaçáo secular possui uma raiz dupla e, consequentemente, o sistema é degenerado. Discuta os modos normais do sistema (Avaliando a j k para modos degenerados, coloque arbitrariamente um dos a j k igual a zero para remover a indefinição). Mostre que a degeneração pode ser removida pela adição à placa de uma barra fina de massa m e comprimento 2A situada (em equilíbrio) ao Iongo dos eixos x 2 . Encontre as novas autofrequências do sistema.

Passo 1

A configuração de equilíbrio é mostrada no diagrama (a) abaixo, e as configurações de não equilíbrio são mostradas nos diagramas (b) e (c).

A energia cinética do sistema é:

Onde I 1 = 1 3 M A 2 e I 2 = ( 1 3 ) M B ² .

A energia potencial é:

Portanto os tensores { m } e { A } são:

A equação secular será:

Assim, as frequencias caracteristicas serão:

E assim podemos ver que o sistema é degenerativo.

Passo 2

Os componentes do autovetor são encontrados a partir da equação:

Considerando a 32 = 0 para remover a indeterminação:

As coordenadas normais serão:

Passo 3

O modo 1 corresponde às oscilações verticais simples da placa (sem inclinação). O modo 2 corresponde a oscilações rotacionais em torno do eixo x 1   e o modo 3 corresponde a oscilações rotacionais em torno do eixo x 2 .

A degenerescência do sistema pode ser removida se a simetria for quebrada. Por exemplo, se colocarmos uma barra de massa m e comprimento 2A ao longo da placa, então o momento de inércia em torno do eixo x 1   é alterado:

E as novas autofrequencias serão:

E não haverá mais degeneração.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)