Considere uma placa fina homogênea que repousa no plano x 1 - x _ 2 . Demonstre que o tensor de inércia assume a forma:

Passo 1

Assume-se que a placa tem espessura desprezível e a massa por unidade de área é ρ s . Então os elementos tensores de inércia são:

I 11 = ρ s ∫ r 2 - x 1 2   d x 1   d x 2 = ρ 2 ∫ x 2 2   d x 1   d x 2 ≡ A

I 22 = ρ s ∫ r 2 - x 2 2   d x 1   d x 2 = ρ 2 ∫ x 1 2   d x 1   d x 2 ≡ B

I 33 = ρ s ∫ r 2 - x 3 2   d x 1   d x 2 = ρ 2 ∫ x 1 2 + x 2 2   d x 1   d x 2

Definindo A e B como acima, I 33 se torna:

I 33 = A + B

Passo 2

Ainda:

I 12 = ρ s ∫ - x 1 x 2   d x 1   d x 2 ≡   - C

I 21 = ρ s ∫ - x 2 x 1   d x 1   d x 2 ≡   - C

I 13 = ρ s ∫ - x 1 x 3   d x 1   d x 2 = 0 = I 31

I 23 = ρ s ∫ - x 2 x 3   d x 1   d x 2 = 0 = I 32

Resposta

Portanto, o tensor de inercia tem a forma:

I = A - C 0 - C B 0 0 0 A + B