Considere uma placa homogênea com momento de inércia principal,

I 1 , junto ao eixo principal x 1 ,

I 2 > I 1 , junto ao eixo principal x 2 ,

I 3 = I 1 + I 2 , junto ao eixo principal x 3 ,

considere as origens dos sistemas x e x’ coincidindo e localizadas no centro de massa 0 da placa. No momento t=0, a placa é rotacionada de um modo livre de força com velocidade vetorial angular Ω em torno de um eixo inclinado em um ângulo α em relação ao plano da placa e perpendicular ao eixo x 2 . Se I 1 I 2 ≡ cos ⁡ 2 a , demonstre que no tempo t, a velocidade vetorial angular em torno do eixo x 2 , é:

Passo 1

Os momentos de inercia da placa são:

I 1 = I 2 cos ⁡ 2 α I 2 I 3 = I 1 + I 2 = I 2 ( 1 + cos ⁡ 2 α ) = 2 I 2 cos ⁡ ² ( 2 α )

É possível verificar também que:

I 1 - I 2 = - I 2 ( 1 - cos ⁡ 2 α )

= - 2 I 2 sen ² ⁡ ( 2 α )

Considerando que a placa está num meio livre de forças, as equações de Euller são:

I 1 - I 2 ω 1 ω 2 - I 3 ω ˙ 3 = 0 I 2 - I 3 ω 2 ω 3 - I 1 ω ˙ 1 = 0 I 3 - I 1 ω 1 ω 3 - I 2 ω ˙ 2 = 0

Substituindo:

( - 2 I 2 sen 2 ⁡ 2 α ) ω 1 ω 2 - 2 I 2 cos ⁡ 2 α ω ˙ 3 = 0 ( - I 2 cos ⁡ 2 α ) ω 2 ω 3 - ( I 2 cos ⁡ 2 α ) ω ˙ 1 = 0 I 2 ω 1 ω 3 - I 2 ω ˙ 2 = 0

Simplificando:

ω ˙ 3 = - ω 1 ω 2   t a n 2 α ω ˙ 1 = - ω 2 ω 3 ω ˙ 2 = ω 1 ω 3

Podemos reescrever como:

ω 1 ω 2 ω 3 = ω 2 ω ˙ 2 = - ω 1 ω ˙ 1 = - ω 3 ω ˙ 3 c o t 2 α

Passo 2

Integrando a equação acima, temos que as novas condições iniciais são:

ω 1 0 = Ω cos ⁡ α ω 2 0 = 0 ω 3 0 = Ω sen ⁡ α

Substituindo, obtemos:

ω ˙ 2 ω ˙ 2 2 t a n 2 α - Ω 2 s e n 2 α = - cot ⁡ α

Passo 3

Como ω ˙ 2 = d ω 2 / d t :

∫ d ω 2 d ω 2 2 t a n 2 α - Ω 2 s e n 2 α =   - cot ⁡ α ∫ d t

Resolvendo para ω 2 :

ω 2 t = Ω cos ⁡ α ∙ tanh ⁡ ( Ω ∙ t ∙ s e n   α )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)