Considere uma placa plana homogênea de densidade ρ limitada pela espiral logarítmica r = k e θ a e raios θ = 0   e   θ = π . Obtenha o tensor de inércia para a origem em r=0 caso a placa esteja no plano x 1 - x 2 . Efetue uma rotaçáo dos eixos de coordenadas para obter os momentos de inércia principais e utilize os resultados do problema anterior para demonstrar que eles são

Onde

Passo 1

O limite da placa é dado por r = k e θ α . Qualquer ponto possui os componentes:

x 1 = η c o s θ x 2 = η s e n θ

Os momentos de inercia são:

I 1 = A = ρ ∫ 0 π ∫ 0 k e θ a x 2 2 η   d η   d θ

I 1 = ρ ∫ 0 π s e n 2 θ   d θ ∫ 0 k e θ a η 3 d η

A integral sobre θ pode ser definida sobre uma equação trigonométrica característica:

I 1 = A = ρ k 4 2 α P

Onde:

P = e 4 π α - 1 16 1 + 4 α 2

Passo 2

De mesmo modo:

I 2 = B = ρ ∫ 0 π ∫ 0 k e θ a x 1 2 η   d η   d θ

I 2 = ρ ∫ 0 π c o s ² θ   d θ ∫ 0 k e θ a η 3 d η

I 2 = B = ρ k 4 2 α P ( 1 + 8 α 2 )

Passo 3

Além disso:

I 12 = - C = - ρ ∫ 0 π ∫ 0 k e θ a x 1 x 2   η   d η   d θ

I 12 = - ρ ∫ 0 π c o s θ   s e n θ   d θ ∫ 0 k e θ a η 3 d η

Para verificar a integral sobre θ , nesse caso c o s θ s e n θ = 1 2 s e n ( 2 θ ) :

I 12 = - C = ρ k 4 P

O ângulo através do qual as coordenadas devem ser rotacionadas para fazer { I } diagonal é:

θ = 1 2 tan - 1 ⁡ 2 C B - A

Dessa forma:

2 C B - A = 1 2 α

tan ⁡ 2 θ = 1 2 α

E também:

s e n   2 θ = 1 1 + 4 α 2 cos ⁡ θ = 2 α 1 + 4 α 2

Então:

I 1 ' = A ' = A c o s 2 θ - C s e n 2 θ + B s e n 2 θ

Usando c o s 2 θ = 1 2 ( 1 + c o s 2 θ ) e s e n 2 θ = 1 2 1 - c o s 2 θ , temos:

I 1 ' = A ' + 1 2 A + B + 1 2 A - B c o s θ - C   s e n 2 θ

Passo 4

Dessa forma:

A + B = ρ k 4 P α 1 + 4 α 2 A - B =   - 4 α ρ k 4 P

Portanto:

I 1 ' = A ' = ρ k 4 P 2 α 1 + 4 α 2 - 2 α ρ k 4 P ∙ 2 α 1 + 4 α 2 - ρ k 4 P ∙ 1 1 + 4 α 2

I 1 ' = A ' = ρ k 4 P Q - R

Onde:

Q = 1 + 4 α 2 2 α R =   1 + 4 α 2

De forma similar:

I 2 ' = B ' = ρ k 4 P Q + R

E por fim:

I 3 ' = A ' + B ' = I 1 ' + I 2 '

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)