Considere uma plano vertical em um campo gravitacional constante. Estabeleça a origem de um sistema de coordenadas em algum ponto deste plano. Uma partícula de massa se move em um plano vertical sob a influência da gravidade e sob a inÍluência de uma força adicional f =   - A   r α - 1 direcionada à origem (r é a distância da origem; A e α [ + ≠ 0 ou 1] são constantes). Escolha as coordenadas generalizadas apropriadas e encontre as equações de movimento de Lagrange. A quantidade de movimento angular sobre a origem é conservada? Explique.

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba??

Fazendo um esboço do enunciado temos:

E escrevendo a função Lagrangiana, temos:

L = K - U

Vamos assumir a coordenadas generalizadas polares, de forma a facilitar. Assim:

K = 1 2 m   X ' 2 + Y ' 2 = 1 2   m   r ' 2 + r 2 θ ' 2

E para U, temos a presença da força adicional e da gravidade:

U = m g y + ∫ f r d r

Vamos achar a energia potencial feita pela força adicional

F = - ∇ U → U = - ∫ f r d r = - ∫ - A r α - 1   d r = A   r α - 1 + 1 α - 1 + 1 = A r α α

Assim:

U =   A r α α + m g   r sin ⁡ θ

De modo que a lagrangiana é:

L = 1 2   m   r ' 2 + r 2 θ ' 2 - A r α α - m g   r sin ⁡ θ  

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Obrigado por vir.

Assim a equação matricial para lagrange temos:

∂ L ∂ θ   - d d t ∂ L ∂ θ ' = 0 ∂ L ∂ r   - d d t ∂ L ∂ r ' = 0

m r ' ' - m r   θ ' 2 + A r α - 1 + m g sin ⁡ θ = 0

d d t m r 2   θ ' + m g   r c o s   θ = 0

Passo 3

Sabemos que m r 2   θ ' é o momento angular P, assim se a derivada dele não é nulo, ele não é conservado e nem constante.

Resposta

Não, não é conservado.