Considere a posição e velocidade iniciais de um oscilador sobreamortecido e não impelido como sendo x 0 e v 0 , respectivamente.

(a) Demonstre que os valores das amplitudes A 1 e A 2 na Equação 3.44 são A 1 = β 2 X 0 β 2 - β 1 e A 2 = β 1 X 0 + V 0 β 2 - β 1 onde β 1 = β - ω 2 e β 2 = β - ω 2 .

(b) Demonstre que, quando A 1   =   0 , os caminhos de fase da Figura 3.11 deverão estar ao longo da linha tracejada fornecida por x ˙ = - β 2 x . Caso contrário, os caminhos assintóticos se encontram ao longo da outra curva tracejada, fornecida por x ˙ = - β 1 x .

Passo 1

Faala meu povo, bora com tudo pra mais uma questão do nosso livro!

Letra (a)

Primeiramente para o item (a) temos que a posição para o movimento superamortecido é dada pela a equação abaixo:

x t = A 1 e - β 1 t + A 2 e - β 2 t

para encontrar a velocidade em um dado t , tomamos a derivada do tempo desta equação, então temos:

v t = - A 1 β 1 e - β 1 t - A 2 β 2 e - β 2 t

Em t = 0 , a velocidade e a posição são iguais aos seus valores iniciais, que são v 0 e x 0 , então podemos escrever:

x 0 = A 1 + A 2

v t = - A 1 β 1 - A 2 β 2

Agora precisamos resolver essas duas equações para A 1 e A 2 , escreva o primeiro para A 1 = x 0 - A 2 , então substitua com ele no segundo como:

v 0 = - ( x 0 - A 2 ) β 1 - A 2 β 2

Resolvendo para A 2 , temos:

v 0 = x 0 β 1 + A 2 β 1 - β 2

A 2 = - x 0 β 1 + v 0 β 2 - β 1

Mas como A 1 = x 0 - A 2 , portanto teremos:

A 1 = x 0 + β 1 x 0 + v 0 β 2 - β 1

A 1 = β 2 x 0 + v 0 β 2 - β 1

Passo 2

Letra (b):

Em A 1 = 0 , substitua no resultado da parte (1) com A 1 = 0 , para obter:

v 0 = - β 2 x 0

E das duas primeiras equações obtemos (conjunto A 1 = 0 em x ( t ) e v ( t ) :

v ( t ) = - β 2 x ( t )

Em A 1 ≠ 0 , e como t → ∞ , nós podemos:

v ( t ) = - β 1 x ( t )

O que faremos aqui é apenas tomar o limite para v ( t ) como t → ∞ , mas ambos os termos em v ( t ) desaparecem como t → ∞ , pois β 2 > β 1 , então o segundo termo desaparece mais rápido que o primeiro.

Finalizamos aqui nossa questão, tudo beleza? Te vejo na próxima!

Resposta

Letra (a)

A 1 = β 2 x 0 + v 0 β 2 - β 1

A 2 = - x 0 β 1 + v 0 β 2 - β 1

Letra (b)

v ( t ) = - β 2 x ( t )

v ( t ) = - β 1 x ( t )