Considere a posição e velocidade iniciais de um oscilador sobreamortecido e não impelido como sendo e , respectivamente.
(a) Demonstre que os valores das amplitudes e na Equação 3.44 são e onde e .
(b) Demonstre que, quando , os caminhos de fase da Figura 3.11 deverão estar ao longo da linha tracejada fornecida por . Caso contrário, os caminhos assintóticos se encontram ao longo da outra curva tracejada, fornecida por .
Passo 1
Faala meu povo, bora com tudo pra mais uma questão do nosso livro!
Letra (a)
Primeiramente para o item (a) temos que a posição para o movimento superamortecido é dada pela a equação abaixo:
para encontrar a velocidade em um dado , tomamos a derivada do tempo desta equação, então temos:
Em , a velocidade e a posição são iguais aos seus valores iniciais, que são e , então podemos escrever:
Agora precisamos resolver essas duas equações para e , escreva o primeiro para , então substitua com ele no segundo como:
Resolvendo para , temos:
Mas como , portanto teremos:
Passo 2
Letra (b):
Em , substitua no resultado da parte (1) com , para obter:
E das duas primeiras equações obtemos (conjunto em e :
Em , e como , nós podemos:
O que faremos aqui é apenas tomar o limite para como , mas ambos os termos em desaparecem como , pois , então o segundo termo desaparece mais rápido que o primeiro.
Finalizamos aqui nossa questão, tudo beleza? Te vejo na próxima!
Resposta
Letra (a)
Letra (b)