Considere uma regiáo de espaço dividida por um plano. A energia potencial da partícula na regiáo 1 é U 1 e na região 2 é U 2 . Se uma partícula de massa ri e com velocidade I, na região 1 passar da região 1 para a região 2, de forma que seu caminho na região 1 forme um ângulo θ 1 com a normal ao plano de separação e um ângulo com o normal quando na regiáo 2, demonstre que:

sin ⁡ θ 1 sin ⁡ θ 2 = 1 + U 1 - U 2 T 1 1 2

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba??

Tiremos as sandálias de nossos pés, porque vamos ver a beleza do método Lagrangiano em ação.

Primeiro, vamos visualizar o dito:

Pelo referencia de coordenadas que escolhemos, temos que:

U 1 x < 0 U 2 x > 0

E a lagrangiana é:

L = T - U

L = m 2 x ' 2 + y ' 2 - U ( x )

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Obrigado por vir.

ssim a equação matricial para lagrange temos:

∂ L ∂ x   - d d t ∂ L ∂ x = 0 ∂ L ∂ y   - d d t ∂ L ∂ y ' = 0

Assim:

m x ' ' + d d x U x = 0

m y ' ' = 0

Sabemos que:

m x ' ' ' = d d t   m x '

Mas m x ' = m v = P é o momento

Assim:

d P x d t = d P x d x d x d t = x ' d p x d x = P x m   d p x d x

Assim:

P x m   d p x d x + d d x U x = 0

Passo 3

Integrando de região a região:

∫ 1 2 P x m   d p x d x +   ∫ 1 2 d d x U x = 0

P x 2 2 2 m - P 1 x 2 2 m + U 2 - U 1 = 0

Que é equivalente a:

1 2 m x 1 ' 2 + U 1 = 1 2 m x 2 ' 2 + U 2

Lembra da segunda equação da lagrangiana do movimento:

m y ' ' = 0

d d t m y ' = 0

1 2 m y 1 ' 2 = 1 2 m y 2 2

Assim, somando as duas equações de movimento

1 2 m x 1 ' 2 + U 1 + 1 2 m y 1 ' 2 = 1 2 m y 2 ' 2 + 1 2 m x 2 ' 2 + U 2

1 2 m x 1 ' 2 + y 1 ' 2 + U 1 = 1 2   m x 2 ' 2 + y 2 ' 2 + U 2

1 2 m   v 1 2 + U 1 = 1 2 m   v 2 2 + U 2

Assim:, reusando a equação já dita:

m y ' ' = 0

Ou seja, que:

d d t m y ' = 0

m y ' = c t e

m y 1 ' = m y 2 '

Que é momento linear, assim:

m v 1 sin ⁡ θ 1 = m v 2 sin ⁡ θ 2

Assim, das equações

sin ⁡ θ 1 = m v 2 sin ⁡ θ 2

1 2 m   v 1 2 + U 1 = 1 2 m   v 2 2 + U 2

Obtemos que:

sin ⁡ θ 1 sin ⁡ θ 2 = v 2 v 1 = 1 + U 1 - U 2 T 1 1 2

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)