Considere o tensor de inércia a seguir:

Efetue uma rotação do sistema de coordenadas por um ângulo θ em torno do eixo x 3 . Avalie os elementos do tensor transformado e demonstre que a opção θ = π / 4   produz a diagonal do tensor de inércia com os elementos A,B e C.

Passo 1

A matriz de rotação é:

λ → = c o s θ s e n θ 0 - s e n θ c o s θ 0 0 0 1

O momento do tensor de inercia é transformado de acordo com:

I → ' = ( λ → ) ( I → ) ( λ → t )

Que pode ser escrito como:

I ' = c o s θ s e n θ 0 - s e n θ c o s θ 0 0 0 1 1 2 ( A + B ) 1 2 ( A - B ) 0 1 2 ( A - B ) 1 2 ( A + B ) 0 0 0 C c o s θ - s e n θ 0 s e n θ c o s θ 0 0 0 1

Resolvendo a equação matricial, temos:

I ' = 1 2 A + B + A - B c o s θ ∙ s e n θ 1 2 A - B c o s ² θ + 1 2 A - B s e n ² θ 0 - 1 2 A + B s e n 2 θ + 1 2 A - B c o s 2 θ 1 2 A + B - A - B c o s θ ∙ s e n θ 0 0 0 C

Resposta

Se θ = π 4 ,   s e n θ = c o s θ = 1 2 , então:

I ' = A 0 0 0 B 0 0 0 C