Consulte o Exemplo 4. 1. Em caso em que uma das molas deve ser esticada uma distância d, para colocar a partícula na posição de equilíbrio (isto é, em sua posição de equilíbrio, a partícula está sujeita a duas forças iguais e diretamente opostas de magnitude kd), então mostre que o potencial no qual a partícula se move é aproximadamente

U x ≅ k d l x 2 + k l - d 4 l 3 x 4

Passo 1

E aí pessoal, belezinha? Vamos trabalhar agora em algumas questões de oscilações não lineares e caos.

O comprimento não estendido de cada mola é l0, como mostrado em (a). Para fixar a massa m, cada mola deve ser esticada uma distância d, conforme indicado em (b). Quando a massa é movida uma distância x, como em (c), a força que age sobre a massa (desprezando a gravidade) é:

F = - 2 k s - l 0 s e n   θ

Sendo:

s = l 2 + x 2   e   s e n   θ = x l 2 + x 2

Então:

F x = - 2 k x l 2 + x 2 l 2 + x 2 - l 0 = - 2 k x l 2 + x 2 l 2 + x 2 - l - d =

= - 2 k x 1 - l - d l 2 + x 2 = - 2 k x 1 - l - d l 1 + x 2 l 2 - 1 2

Expandindo o radical em potências de x2/l2 e retendo apenas os dois primeiros termos, temos:

F x ≅ - 2 k x 1 - l - d l 1 + x 2 l 2 = - 2 k x 1 - 1 - d l + 1 2 l - d l x 2 l 2 =

= - 2 k d l x - k l - d l 3 x 3

O potencial é dado por:

U x = - ∫ F x d x = > U x = k d l x 2 + k l - d 4 l 3 x 4

Resposta

Ver passo a passo.