Continue o Problema 12.1 e investigue o caso do acoplamento fraco: k 12 ≪ k 1 , k 2 . Mostre que o fenômeno dos batimentos ocorre, mas que o processo de transferência de energia está completo.

Passo 1

E aí pessoal, belezinha? Vamos trabalhar agora em algumas questões de oscilações acopladas.

Do problema anterior encontramos que para: k 12 ≪ k 1 , k 2

ω 1 ≅ k 1 + k 12 M ;   ω 2 ≅ k 2 + k 12 M

Se usarmos:

ω 0 1 = k 1 M   e   ω 0 2 = k 2 M

Então as frequências podem ser reescritas como:

ω 1 = ω 01 1 + k 12 k 1 ≅ ω 01 1 + ε 1 ;   ω 2 = ω 0 2 1 + k 12 k 2 ≅ ω 0 2 1 + ε 2

Onde:

ε 1 = k 12 2 k 1   e   ε 2 = k 12 2 k 2

E podemos reescrever:

ω 1 + ω 2 = ω 01 + ω 02 + ε 1 ω 01 + ε 2 ω 02 ≡ 2 Ω + + 2 ε +

ω 1 - ω 2 = ω 01 - ω 02 + ε 1 ω 01 - ε 2 ω 02 ≡ 2 Ω - - 2 ε -

Para as condições iniciais [Eq. 12.22)]:

x 1 0 = D ,   x 2 0 = 0 ,   x ˙ 1 0 = 0 = x ˙ 2 0

A solução para x1(t) é apenas a Eq. (12.24):

x t = D c o s   ω 1 + ω 2 2 t cos ⁡ ω 1 - ω 2 2 t

Então:

x 1 t = D c o s   Ω + t + ε + t cos ⁡ Ω - t + ε - t

De forma similar:

x 2 t = D s e n   ω 1 + ω 2 2 t sen ⁡ ω 1 - ω 2 2 t = D s e n   Ω + t + ε + t sen ⁡ Ω - t + ε - t

Expandindo as funções cosseno e seno nos resultados obtidos e levando em conta o fato de que ε+ e ε− são pequenas quantidades, encontramos, de primeira ordem nesses valores:

x 1 t ≅ D cos ⁡ Ω + t cos ⁡ Ω - t - ε + t s e n   Ω + t c o s   Ω - t - ε - t c o s   Ω + t s e n   Ω - t

x 2 t ≅ D sen ⁡ Ω + t sen ⁡ Ω - t + ε + t c o s   Ω + t s e n   Ω - t + ε - t s e n   Ω + t c o s   Ω - t

Quando x1(t) ou x2(t) atinge um máximo, o outro está em um mínimo que é maior que zero. Assim, a energia nunca é transferida completamente para um dos osciladores.

Resposta

Ver passo a passo.