Uma corda uniforme de comprimento total 2 a pende em equilíbrio sobre um prego liso. Um pequeno impulso faz com que ela se desenrole lentamente do prego. Determine à velocidade da corda no momento em que ela se solta totalmente do prego. Suponha que a corda não pode se elevar ao sair do prego e que esteja em queda livre.

Passo 1

Fala, galerinha. Estamos aqui pra mais um exercício, mas calma que vou te ajudar nessa.

Nesse exercício temos uma corda pendendo pra um lado de um prego e uma puxada em um lado dela faz com que ela caia. Queremos saber qual a velocidade a corda vai atingir quando se soltar totalmente do prego.

Passo 2

Segue o desenho pra facilitar.

Primeiro vamos analisar a força na corda nesse momento. Temos a força que a parte a direita faz e a força que a esquerda faz. Temos também a densidade da corda que pode ser representada como ρ = d m / d l . Assim, a força que cada parte faz vai ser

F d = ρ g ( a + x )

E a força da esquerda vai ser

F e = ρ g ( a - x )

Como uma está indo pra cima e a outra pra baixo, subtraímos as duas forças pra ter a força resultante.

F r = F d - F e = ρ g a + x - ρ g ( a - x )

F r = 2 ρ g x

Passo 3

Agora achamos o momento, por

d p d t = m d v d t = 2 a ρ d v d t

Aplicando a 2ª Lei de Newton, temos

F r = d p d t

2 ρ g x = 2 a ρ d v d t

d v d t = g x a

Reescrevendo a derivada da velocidade com o tempo para ficar na forma da derivada da velocidade em relação a posição

d v d t = d v d x ⋅ d x d t = v d v d x

Com essa mudança, nossa equação fica

v d v d x = g a x

v d v = g a x d x

Integrando dos dois lados da equação temos

v 2 2 = g x 2 2 a + c

Como quando x = 0 temos v = 0 . Então temos que c = 0 . Assim nossa equação fica

v 2 = g x 2 a

v = g x 2 a

Como a corda inicialmente estava em equilíbrio, tínhamos inicialmente um comprimento a para um lado e para o outro, igualmente. Então a corda precisa percorrer um comprimento a para sair do prego. Então, substituímos x = a na nossa equação da velocidade, encontrando

v = g a 2 a

v = g a

Resposta

A velocidade quando ela sai do prego é de v = g a .

Mais um problema feito. Bora pra mais um?