Um corpo com área de seção transversal uniforme A = 1,0 cm2 e densidade de massa ρ = 0,8 g/cm3 flutua em um líquido de densidade ρ 0 = 1,0 g/cm3 e, no equilíbrio, desloca um volume V = 0,8 cm3. Demonstre que o período de pequenas oscilações em torno da posição de equilíbrio é fornecido por

τ = 2 π V / g A

onde g é a intensidade do campo gravitacional. Determine o valor de τ .

Passo 1

E aí pessoal, belezinha? Vamos trabalhar agora em algumas questões de oscilações.

Seja A a área da seção transversal do corpo flutuante, hb sua altura, hs a altura de sua parte submersa; e sejam ρ e ρ0 as densidades de massa do corpo e do fluido, respectivamente. O volume de fluido deslocado é, portanto, V = Ahs. A massa do corpo é M = ρAhb.

Há duas forças agindo sobre o corpo: a da gravidade (Mg) e a do fluido, empurrando o corpo para cima (−ρ0gV = −ρ0ghsA).

A situação de equilíbrio ocorre quando a força resultante é igual a zero:

0 = M g - ρ 0 g V = M g - ρ 0 g h s A

A relação entre as alturas é:

h s = h b ρ ρ 0

Para um pequeno deslocamento em torno da posição de equilíbrio (hs → hs + x), e daí teremos:

M x ¨ = ρ A h b x ¨ = ρ g A h b - ρ 0 g h s + x A = > ρ A h b x ¨ = ρ 0 g x A = > x ¨ + g ρ 0 ρ h b = 0

Assim, o movimento é oscilatório, com uma frequência angular:

ω 2 = g ρ 0 ρ h b = g h s = g A V

Como temos:

τ = 2 π ω = > τ = 2 π V g A

Substituindo os valores fornecidos temos:

τ = 2 π V g A = τ = 2 π 8 ∙ 10 - 7 9,8 ∙ 10 4 ≅ 0,18   s

Resposta

Ver passo a passo.