Enunciado

Se um corpo não contém planos de simetria, os momentos principais de inercia podem ser determinados matematicamente. Para demonstrar como isso é feito, considere o corpo rígido que está girando com uma velocidade angular ω , direcionada ao longo de um de seus eixos principais de inércia. Se o momento principal de inércia em relação a esse eixo é I , a quantidade de movimento angular pode ser expressa como H = l ω = l ω x i + l ω y j + l ω z k . As componentes de H também podem ser expressas pelas equações 21.10, onde se supõem que o tensor de inércia seja conhecido. Equacione as componentes i ,   j   e   k de ambas as expressões para H e considere ω x ,   ω y   e   ω z como incógnitas. A solução dessas três equações é obtida desde que o determinante, quando expandido, resulta na equação cúbica

I 3 - I x x + I x y + I z z I 2 +   I x x   I y y + I y y   I z z + I z z   I x y - I x y 2 - I y z 2 - I z x 2 )   I -   ( I x x   I y y   I z z - 2 I x y   I y z   I z x - I x x I y z 2 -   I x y   I z x 2 - I z z   I y z 2 ) = 0

As três raízes positivas de I , obtidas da solução dessa equação , representam os momentos principais de inércia I x ,   I y e I z .

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Temos que:

H = l ω = l ω x i + l ω y j + l ω z k

Podemos isolar as equações afim de deixa-las da seguinte maneira:

I x x - I ω x - I x y ω y - I x z ω z = 0

- I x y ω y + I y y - I ω y - I y z ω z = 0

- I z x ω z - I z y ω z + I z z - I ω z = 0

Resolvendo matricialmente, teremos:

I x x - I - I x y - I z x - I x y I Y y - I - I z y - I x z - I y z I z z - I  

Resolvendo este determinante, teremos:

I 3 - I x x + I x y + I z z I 2 +   I x x   I y y + I y y   I z z + I z z   I x y - I x y 2 - I y z 2 - I z x 2 )   I -   ( I x x   I y y   I z z - 2 I x y   I y z   I z x - I x x I y z 2 -   I x y   I z x 2 - I z z   I y z 2 ) = 0

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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