Um cubo homogêneo, do qual cada borda tem um comprimento l, está inicialmente em uma posição de equilíbrio instável com uma borda de contato com um plano horizontal. O cubo é então submetido a um pequeno deslocamento e liberado em queda. Demonstre que a velocidade vetorial angular do cubo quando uma face colide com o plano é fornecida por, onde A=3/2 se aborda não puder deslizar sobre o plano, e A=12/5 se o deslizamento puder ocorrer sem atrito.
Passo 1
Primeiro vamos analisar o caso em que a borda não desliza sobre o plano.
Pelo princípio da conservação da energia:
Onde é a velocidade do centro de massa quando uma das bordas atinge o plano. está relacionado à :
é o momento de inercia do cubo e relação ao eixo perpendicular à uma borda que atravessa o centro:
Assim reescrevendo a igualdade da conservação de energia:
De onde obtemos:
Passo 2
Agora vamos analisar o caso em que o deslizamento ocorre sem atrito.
Neste caso não há força externa na direção horizontal; portanto, o cubo desliza de modo
que o centro de massa cai diretamente para baixo ao longo de uma linha vertical.
Enquanto o cubo está caindo, a distância entre o centro de massa e o plano é dada por:
Portanto, a velocidade do centro de massa quando uma borda atinge o plano é:
Pela conservação de energia:
De onde obtemos:
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)