Um cubo homogêneo, do qual cada borda tem um comprimento l, está inicialmente em uma posição de equilíbrio instável com uma borda de contato com um plano horizontal. O cubo é então submetido a um pequeno deslocamento e liberado em queda. Demonstre que a velocidade vetorial angular do cubo quando uma face colide com o plano é fornecida por, onde A=3/2 se aborda não puder deslizar sobre o plano, e A=12/5 se o deslizamento puder ocorrer sem atrito.

Passo 1

Primeiro vamos analisar o caso em que a borda não desliza sobre o plano.

Pelo princípio da conservação da energia:

m g l 2 = m g l 2 + 1 2 m v C M 2 + 1 2 I ω ²

Onde v C M é a velocidade do centro de massa quando uma das bordas atinge o plano. v C M está relacionado à ω :

v C M = l 2 ω

I é o momento de inercia do cubo e relação ao eixo perpendicular à uma borda que atravessa o centro:

I = 1 6 m l ²

Assim reescrevendo a igualdade da conservação de energia:

m g l 2   2 - 1 = 1 2 m l ω 2 2 + 1 2   m l 2 6 ω 2 = 1 3 m l 2 ω ²    

De onde obtemos:

ω 2 = 3 2 g l   2 - 1

Passo 2

Agora vamos analisar o caso em que o deslizamento ocorre sem atrito.

Neste caso não há força externa na direção horizontal; portanto, o cubo desliza de modo

que o centro de massa cai diretamente para baixo ao longo de uma linha vertical.

Enquanto o cubo está caindo, a distância entre o centro de massa e o plano é dada por:

y = l 2 cos ⁡ θ

Portanto, a velocidade do centro de massa quando uma borda atinge o plano é:

y ˙ 0 = π 4 =   - l 2 s e n θ   θ ˙ 0 = π 4 = - 1 2   l θ ˙ =   - 1 2 l ω

Pela conservação de energia:

m g l 2 = m g l 2 + 1 2 m - 1 2 l ω 2 + 1 2 1 6 m l ² ω ²

De onde obtemos:

ω 2 = 12 5 g l   2 - 1

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)