Enunciado

Um cubo, de um material compósito, com 40 mm de lado e as propriedades mostradas na figura é feito de polímeros com fibras de vidro alinhadas na direção x. O cubo é impedido de se deformar nas direções y e z e está submetido a uma força de tração de 65   k N na direção x. Determine (a) a variação na dimensão do cubo na direção x e (b) as tensões σ x ,     σ y ,     σ z .

Passo 1

Fala aí gurizada tudo belezinha??? O enunciado pede a variação na dimensão do cubo na direção x primeiramente vamos determinar as equações de deformação nas três direções:

ε x = σ x E x - v y x σ y E y - v z x σ z E z

ε y = - v x y σ x E x + σ y E y - v z y σ z E z

ε z = - v x z σ x E x - v y z σ y E y + σ z E z

Igualando as equações em funções das direções fornecidas no enunciado temos:

v x y E x = v y x E y

v y z E y = v z y E z

v z x E z = v x z E x

Passo 2

As condições de restrição são fornecidas no passo 1 temos que:

1 E y σ y - v z y E z σ z = v x y E x σ x (1) - v y z E y σ y + 1 E z σ z = v x z E x σ x (2)

Vamos relembrar o elemento do enunciado com seus respectivos valores:

Substituindo os valores em 1 e 2 temos:

1 15,2 σ y - 0,428 15,2 σ z = 0,254 50 σ x       o u       σ y - 0,428 σ z = 0,077216 σ x

- 0,428 15,2 σ y + 1 15,2 σ z = 0,254 50 σ x       o u     - 0,428 σ y + σ z = 0,077216 σ x

Resolvendo simultaneamente, σ y = σ z = 0,134993 σ x        

Considerando a equação de deformação abaixo e modulo abaixo, substituindo os valores do enunciado temos:

ε x = 1 E x σ x - v x y E x σ y - v x z E σ z E x = 1 E x 1 - 0,254   x   0,134993 - 0,254   x   0,134993 σ x = 0,93142 σ x E x

Passo 3

Antes de encontrarmos a tensão e a deformação precisamos determinar a área do elemento, então temos:

A = 40   x   40 = 1600   m m 2 = 1600   x   10 - 6 m 2

Agora sim podemos determinar a tensão e a deformação , vejam :D σ x = P A = 65   x   10 3 1600   x   10 - 6 = 40,625   x   10 6 P a   ε x = 0,93142   x   40,625   x   10 3 50   x   10 9 = 756,78   x   10 - 6  

Passo 4

Feito isso podemos determinar a variação na dimensão do cubo na direção x e (b) as tensões σ x ,     σ y ,     σ z .

a δ x = L x ε x = 40   m m   x   ( 756,78   x   10 - 6 )

b σ x = 40,625   x   10 6 P a σ y = σ z = 0,134993   x   40,625   x   10 6 = 5,48   x   10 6 P a

Resposta

a δ x = 0,303   m m b σ x = 40,6   M P a σ y = σ z = 5,48   M P a

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