Demonstre que a Equação 3.43 é, na realidade, a solução para o amortecimento crítico, supondo uma solução da forma x t = y t exp ⁡ - β t e determinando a função y ( t ) .

Passo 1

Fala, galera, tudo tranquilo?

Vamos lá resolver mais essa questão.

Sabemos que para o caso crítico ω 0 = β

x ¨ + 2 β x ˙ + β 2 x = 0                         E q . 1

Se estamos assumindo uma solução da forma:   x t = y t e - β t

Temos então:

x ˙ = y ˙ e - β t - β y e - β t

x ¨ = y ¨ e - β t - 2 β y ˙ e - β t + β 2 y e - β t

Passo 2

Substituindo as expressões das derivadas x ˙ e x ¨ em Eq.1

y ¨ e - β t - 2 β y ˙ e - β t + β 2 y e - β t + 2 β y ˙ e - β t - 2 β 2 y e - β t + β 2 y t e - β t = 0

Cancelando os termos simétricos achamos:

y ¨ = 0

y t = A + B t

e,

x t = A + B t e - β t

Resposta

Demonstração